Reputation-dependent social learning on the evolution of cooperation in spatial public goods games

空間公共物品博弈中基于聲譽的社會學(xué)習(xí)的合作演化

1. 簡單介紹

2. 模型的構(gòu)建

2.1 基本模型

? 我們之前也總結(jié)過，什么方格網(wǎng)絡(luò)的規(guī)模啊、每輪的收益如何計算、一個個體要計算幾輪，以及計算總收益等等，這些已經(jīng)耳熟能詳了，在此不過多贅述了。

2.2 聲譽更新公式

? 因為是二階的聲譽演化規(guī)則，所以聲譽值的變化同時跟個體i的策略和他的鄰居策略有關(guān)系，因此其聲譽值更新規(guī)則不同于一階的聲譽演化規(guī)則。

$$R_i(t)=?\begin{array}{ll}{R}_i(t?1)+1,& if{S}_i(t)=C\text{?}and\text{?}{S}_m(t)=C\\ R_i(t?1)+\theta ,& if{S}_i(t)=C\text{?}and\text{?}{S}_m(t)=D\\ R_i(t?1)?\theta ,& if{S}_i(t)=D\text{?}and\text{?}{S}_m(t)=C\\ R_i(t?1)?1,& if{S}_i(t)=D\text{?}and\text{?}{S}_m(t)=D\end{array}\text{\hspace{1em}(1)}$$

其中，個體i的鄰居m，是個體i的所有鄰居中，聲譽值最低的那個鄰居。θ是對于自己合作鄰居判斷的補償亦或者自己背叛鄰居合作的懲罰。

2.3 整體博弈流程

2.4 關(guān)于聲譽推理能力P的取值

2.4.1 同質(zhì)

? 同質(zhì)的概念我在筆記<<論文閱讀中的知識點>>中已經(jīng)詳細(xì)介紹，此處不在贅述。

? 這個同質(zhì)很簡單，大家的推理能力都一樣，P的取值可以從0-1任意取值，并且每個人的推理能力P是一樣的。

2.4.2 異質(zhì)內(nèi)生

? P是一個異質(zhì)性內(nèi)生的參數(shù)，假設(shè)這個能力值P跟個體的聲譽值呈現(xiàn)負(fù)相關(guān)的線性關(guān)系，且其概率由博弈過程中的某些變量進(jìn)行控制，并非外來變量或函數(shù)分布，具體公式如下所示：
$$P=1?\frac{R}{R_{max}}?b\text{\hspace{1em}(2)}$$
? 此時，每個人體的聲譽推理能力隨著本身聲譽值的變化而進(jìn)行變化，是每時每刻每個人都不一樣的。

2.4.3 異質(zhì)外生

? P是一個異質(zhì)外生的參數(shù)，這個推理能力遵循正態(tài)分布(normal distribution)和冪律分布(power law distribution)。此時，每個個體的推理能力跟個體本身的任何參數(shù)都不相關(guān)，其推理能力完全由分布函數(shù)所確定。這里還需要注意的一點是，我們在改變分布函數(shù)的參數(shù)的過程中，要記得對函數(shù)的結(jié)果進(jìn)行歸一化處理。下面我將介紹最小最大值歸一化。

2.4.4 最小最大值歸一化

• 歸一化

  1. 把數(shù)據(jù)變成(0,1)或者(-1,1)之間的小數(shù)。尤其是0-1之間，可以當(dāng)做隨機概率來使用。
  2. 把有量綱表達(dá)式變成無量綱表達(dá)式，便于不同單位或量級的指標(biāo)能夠進(jìn)行比較和加權(quán)。

• Min-Max Normalization(最小-最大歸一化)

  具體公式如下：
  $$x^{\prime }=\frac{x?X_{min}}{X_{max}?X_{min}}\text{\hspace{1em}(3)}$$

  其中x為某個特征的原始值，X_min為該特征在所有樣本中的最小值，X_max為該特征在所有樣本中的最大值，x’為經(jīng)過歸一化處理后的特征值，其取值范圍為(0,1)。

• Normal distribution Normalization(正態(tài)分布的歸一化)

  import numpy as np
  
  # 設(shè)置均值和標(biāo)準(zhǔn)差
  mean = 0.1
  std_dev = 0.2
  
  # 生成一個符合正態(tài)分布的隨機數(shù)
  random_value = np.random.normal(loc=mean, scale=std_dev)
  
  # 如果你希望將隨機值歸一化到 [0, 1] 范圍內(nèi)，首先需要定義一個范圍
  # 這里我們假設(shè)一個合理的范圍
  data_min = mean - 3 * std_dev  # 下界（均值-3個標(biāo)準(zhǔn)差）
  data_max = mean + 3 * std_dev  # 上界（均值+3個標(biāo)準(zhǔn)差）
  
  # 將隨機值歸一化
  normalized_value = (random_value - data_min) / (data_max - data_min)
  
  # 確保歸一化后的值在 [0, 1] 范圍內(nèi)
  normalized_value = np.clip(normalized_value, 0, 1)
  
  # 輸出結(jié)果
  print("隨機產(chǎn)生的概率為:",normalized_value)
  
  

? 我們知道的是，正態(tài)分布的99.9%都出在(μ-3?，μ+3?)之間，所以面積的最大值為μ+3?面積的最小值為μ-3?。故可得到上面的公式。

• Power law distribution normalization(冪律分布的歸一化)

$$f(x)=\alpha x^{\alpha ?1}\text{\hspace{1em}(4)}$$

具體歸一化代碼如下:

import numpy as np

# 設(shè)置冪律分布的 alpha 參數(shù)
alpha = 0.5

# 生成一個符合冪律分布的隨機數(shù)
def generate_power_law(alpha, size=1):
    # 生成均勻分布的隨機數(shù)
    u = np.random.uniform(0, 1, size)
    return alpha*(u**(alpha-1))

# 生成一個隨機值
random_value = generate_power_law(alpha)

# 歸一化
# 對于冪律分布，通?？梢灾苯訉⑸傻臄?shù)據(jù)視為范圍[0,1]的概率
normalized_value = np.clip(random_value, 0, 1)

# 輸出結(jié)果

print(f"Normalized value (probability P): {normalized_value}")

其實，本論文中是不是使用這樣的歸一化我尚不敢作如此估計，只能說等我開始仿真這個論文的時候，根據(jù)仿真的結(jié)果來確定我所理解的想法是否正確。

3. 結(jié)論

1. 在同質(zhì)的情況下，更高聲譽推理能力會使個體傾向于選擇高聲譽的個體進(jìn)行策略的模仿，從而有效的促進(jìn)種群中合作的涌現(xiàn)。
2. 在異質(zhì)性內(nèi)生的情況下，越高的異質(zhì)程度越不利于促進(jìn)合作的產(chǎn)生；在異質(zhì)性外生的情況下，當(dāng)處于正態(tài)分布的時候，如果方差足夠大，無論均值是多少合作的水平總是相等的。其次，當(dāng)均值接近于1的時候，冪律分別比正態(tài)分布更優(yōu)。
3. 二階聲譽演化規(guī)則相比于一階，會在一定的程度上抑制合作的產(chǎn)生。且聲譽波動幅度越大(這個聲譽波動就跟上面那個公式θ有關(guān)系了)，抑制作用越明顯。當(dāng)聲譽推理能力較低且聲譽參數(shù)同時較高時，抑制合作效果最顯著。因為背叛者可以很快的積累高聲譽，從而導(dǎo)致背叛策略的傳播。(這些內(nèi)容我在之間的博弈總結(jié)中也提到過)

這里埋下一個伏筆，就是在之后的仿真中，確定我的歸一化方式是否正確。