-------------一線三角

三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等邊三角形為背景，一個與等腰三角形的底角相等的頂點(diǎn)在底邊所在的直線上，角的兩邊分別與等腰三角形的兩邊相交如圖所示：

等角的頂點(diǎn)在底邊上的位置不同得到的相似三角形的結(jié)論也不同，當(dāng)頂點(diǎn)移動到底邊的延長線時，形成變式圖形，圖形雖然變化但是求證的方法不變。此規(guī)律需通過認(rèn)真做題，細(xì)細(xì)體會。

例1：如圖，等邊△ABC中，邊長為6，D是BC上動點(diǎn)，∠EDF=60° （1）求證：△BDE∽△CFD

（2）當(dāng)BD=1，F(xiàn)C=3時，求BE。

E

B D

變式：如圖，在△ABC中，AB=AC=8，BC=10，D是BC邊上的一個動點(diǎn)，點(diǎn)

A F C E在AC邊上，且?ADE(1) 求證：△ABD∽△DCE；

?C．

A (2) 如果BD=x，AE=y，求y與x的函數(shù)解析式，并寫出自變量x的定義域； (3) 當(dāng)點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)時，試說明△ADE是什么三角形，并說明理由．

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E B D C 實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)

例2：如圖，等腰△ABC中，AB=AC，D是BC中點(diǎn)，∠EDF=∠B，求證：△BDE∽△DFE

E

B

變式：已知：如圖，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，點(diǎn)D在邊AB上，

A F D C DE=AB，點(diǎn)E在邊BC上．又點(diǎn)F在邊AC上，且?DEF(1) 求證：△FCE∽△EBD；

(2) 當(dāng)點(diǎn)D在線段AB上運(yùn)動時，是否有可能使SFCE?B．

=4SEBD．如果有可

能，那么求出BD的長．如果不可能請說明理由．

A F D B

E C 例3：如圖，在△ABC中，AB=AC=5cm，BC=8，點(diǎn)P為BC邊上一動點(diǎn)（不與點(diǎn)B、

C重合），過點(diǎn)P作射線PM交AC于點(diǎn)M，使∠APM=∠B；

（1）求證：△ABP∽△PCM；

（2）設(shè)BP=x，CM=y．求 y與x的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的定義域． （3）當(dāng)△APM為等腰三角形時， 求PB的長．

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A M P

C

B

實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)

變式：如圖，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，P是BC上一點(diǎn)，且BP=2，將一個大小與∠B相等的角的頂

點(diǎn)放在P 點(diǎn)，然后將這個角繞P點(diǎn)轉(zhuǎn)動，使角的兩邊始終分別與AB、AC相交，交點(diǎn)為D、E。

（1）求證△BPD∽△CEP

（2）是否存在這樣的位置，△PDE為直角三角形？若存在，求出BD的長；若不存在，說明理由。

-------------壓軸題突破---一線三角

例1：在DABC中，AB=AC=5，BC=8，點(diǎn)P、Q分別在射線CB、AC上

（點(diǎn)P不與點(diǎn)C、點(diǎn)B重合），且保持?APQA E D B C P ?ABC.

A B

①若點(diǎn)P在線段CB上（如圖），且BP=6，求線段CQ的長； ②若BP=x，CQ=y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出函數(shù)的定義域；

C 文案大全

實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)

1.與等腰三角形底角相等的角的頂點(diǎn)不僅在線段上還可以運(yùn)動至線段的延長線上，這類變式問題是上海中考中最常見的，雖然圖形改變，但是方法不變，依舊是原來的兩個三角形相似列出比例式后求解。當(dāng)?shù)妊切巫兪綖檎叫螘r，依然沿用剛才的方法便可破解此類問題。

2.此題是典型的圖形變式題，記住口訣：“圖形改變，方法不變”。動點(diǎn)在線段上時，通過哪兩個三角形相似求解，當(dāng)動點(diǎn)在線段的延長線上時，還是找原來的兩個三角形，多數(shù)情況下這兩個三角形還是相似的，還是可以沿用原來的方法求解。 變式：正方形ABCD的邊長為5（如圖），點(diǎn)P、Q分別在直線．．CB、DC上（點(diǎn)P不與點(diǎn)C、點(diǎn)B重合）， 且保持?APQ結(jié)果）.

例2：已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，且AD＝5，AB＝DC＝2． （1）如圖，P為AD上的一點(diǎn)，滿足∠BPC＝∠A．

①求證；△ABP∽△DPC ②求AP的長．

（2）如果點(diǎn)P在AD邊上移動（點(diǎn)P與點(diǎn)A、D不重合），且滿足∠BPE＝∠A，PE交

直線BC于點(diǎn)E，同時交直線DC于點(diǎn)Q，那么

①當(dāng)點(diǎn)Q在線段DC的延長線上時，設(shè)AP＝x，CQ＝y(tǒng)，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的定義域；

②當(dāng)CE＝1時，寫出AP的長（不必寫出解題過程）．

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90?.當(dāng)CQ=1時，寫出線段BP的長（不需要計算過程，請直接寫出

A D B C A P D B C 實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)

第一問因?yàn)槭堑妊切危覞M足∠BPC＝∠A,很容易找到一線三角模型，尋找相似，列比例等式，求出AP的長。

第二問題目要分類討論，注意題目里面給的一些提示，直線，射線，線段，這經(jīng)常是給出要分類討論的一些信息

變式：已知在等腰三角形ABC中，AB=BC=4,AC=6，D是AC的中點(diǎn)， E是

BC上的動點(diǎn)（不與B、C重合），連結(jié)DE，過點(diǎn)D作射線DF，使?EDF射線DF交射線EB于點(diǎn)F，交射線AB于點(diǎn)H. （1）求證：DCED∽DADH； （2）設(shè)EC=x,BF=y. ①用含x的代數(shù)式表示BH；

②求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出x的定義域. 中點(diǎn)．

（1）如圖，P為BC上的一點(diǎn)，且BP=2．求證：△BEP∽△CPD；

CEDBFH?A，

A例3：已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，且BC =6，AB=DC=4，點(diǎn)E是AB的

（2）如果點(diǎn)P在BC邊上移動（點(diǎn)P與點(diǎn)B、C不重合），且滿足∠EPF=∠C，PF交

直線CD于點(diǎn)F，同時交直線AD于點(diǎn)M，那么

①當(dāng)點(diǎn)F在線段CD的延長線上時，設(shè)BP=x，DF=y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，

并寫出函數(shù)的定義域； ②當(dāng)SDDMF=

文案大全 B 9SDBEP時，求BP的長． 4D E A D A E P （圖）

C B （備用圖）

C 實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)

1.第（2）小題都是用常規(guī)的三等角型相似的方法。

2.第二問題目要分類討論，注意題目里面給的一些提示，直線，射線，線段，這經(jīng)常是給出要分類討論的一些信息

變式：如圖，在梯形ABCD中，AD//BC，AB=CD=BC=4，AD=2．點(diǎn)M為邊BC的中點(diǎn)，以M為頂點(diǎn)作∠EMF=∠B，射線ME交邊AB于點(diǎn)E，射線MF交邊CD于點(diǎn)F，連結(jié)EF．

（1）指出圖中所有與△BEM相似的三角形，并加以證明；

（2）設(shè)BE=x，CF=y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出定義域；

E A D F

B M C

-------------壓軸題突破---一線三直角

三直角相似可以看著是“一線三等角”中當(dāng)角為直角時的特例，三直角型相似通常是以矩形或者正方形形為背景，或者在一條直線上有一個頂點(diǎn)在該直線上移動或者旋轉(zhuǎn)的直角，幾種常見的基本圖形如下：

當(dāng)題目的條件中只有一個或者兩個直角時，就要考慮通過添加輔助線構(gòu)造完整的三直角型相似，這往往是很多壓軸題的突破口，進(jìn)而將三角型的條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化。

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實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)

例1、已知：如圖，AB⊥BC，AD // BC， AB = 3，AD = 2．點(diǎn)P在線段AB上，聯(lián)結(jié)

PD，過點(diǎn)D作PD的垂線，與BC相交于點(diǎn)C．設(shè)線段AP的長為x．

（1）當(dāng)AP = AD時，求線段PC的長；

（2）設(shè)△PDC的面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的定義域； （3）當(dāng)△APD∽△DPC時，求線段BC的長．

A D A D P B C B C

（備用圖）

本題重點(diǎn)在于：過點(diǎn)C作CE⊥AD，交AD的延長線于點(diǎn)E．(構(gòu)造一線三角，出現(xiàn)相似三角形，進(jìn)行求解)

變式：如圖1，已知AM//BN，?A

?B90?，AB=4，點(diǎn)D是射線AM上的一

個動點(diǎn)（點(diǎn)D與點(diǎn)A不重合），點(diǎn)E是線段AB上的一個動點(diǎn)（點(diǎn)E與點(diǎn)A、B不重合），聯(lián)結(jié)DE，過點(diǎn)E作DE的垂線，交射線BN于點(diǎn)C，聯(lián)結(jié)DC．設(shè)AE=x，

BC=y．

（1）當(dāng)AD=1時，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出它的定義域；

（2）在（1）的條件下，取線段DC的中點(diǎn)F，聯(lián)結(jié)EF，若EF=2.5，求AE的長；

（3）如果動點(diǎn)D、E在運(yùn)動時，始終滿足條件AD+DE=AB，那么請?zhí)骄浚?p>DBCE的周長是否隨著動點(diǎn)D、E的運(yùn)動而發(fā)生變化？請說明理由．

AEDMAMBCNBN

圖1 圖2

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實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)

例2、如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=2，AD=4，tanC=

4，∠ADC=∠3DAB=90度，P是腰BC上一個動點(diǎn)（不含點(diǎn)B、C），作PQ^AP交CD于點(diǎn)Q（圖1）

（1） 求BC的長與梯形ABCD的面積； （2） 當(dāng)PQ=DQ時，求BP的長；（圖2）

（3） 設(shè)BP=x，CQ=y,試求出y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出定義域。

ABP

ABPDQ(圖1)CDQ(圖2)C

第3問添加了輔助線MN，得到一線三角基本模型，得到解題突破口，出現(xiàn)相似，順利得到答案。

變式：如圖，在RtDABC中，?C90?，AB=5，tanB=3，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，4點(diǎn)E是AB邊上的動點(diǎn)，DF^DE交射線AC于點(diǎn)F． （1）求AC和BC的長；（2分）

（2）當(dāng)EF∥BC時，求BE的長；（5分）

（3）聯(lián)結(jié)EF，當(dāng)DDEF和DABC相似時，求BE的長．（7分）

E F 文案大全 C A A A D B C （備用B C （備用B 實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)

例3、如圖，在RtDABC中，?C90?，AC=BC=6，點(diǎn)D為AC中點(diǎn)，點(diǎn)E為

90?.

邊AB上一動點(diǎn)，點(diǎn)F為射線BC上一動點(diǎn)，且?FDE（1）當(dāng)DF//AB時，聯(lián)結(jié)EF,求DDEF的余切值；

（2）當(dāng)點(diǎn)F在線段BC上時，設(shè)AE=x，BF=y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍；

（3）聯(lián)結(jié)CE，若DCDE為等腰三角形，求BF的長.

C C F D B A A E 備用圖1

C B A 備用圖2 B

1.第2問添加輔助線EH，得到三直角型相似，得到結(jié)果；

2.第3問等腰三角形的分類討論，要注意嚴(yán)格按照三種情況進(jìn)行討論，在解答過程中，要時刻牢記等腰三角形三線合一這一性質(zhì)。

變式：在梯形ABCD中,AD∥BC，AD=AB=1,BC=2,?A90°.（如圖1）

(1)試求DC的度數(shù)；

(2)若E、F分別為邊AD、CD上的兩個動點(diǎn)(不與端點(diǎn)A、D、C重合),且始終保持

45°,BD與EF交于點(diǎn)P.（如圖2）

①求證:DBDE∽DBCF；

②試判斷DBEF的形狀（從邊、角兩個方面考慮），并加以說明； ③設(shè)AE=x,DP=y,試求y關(guān)于x的函數(shù)解析式,并寫出定義域. ?EBF

A

D （圖1）

A E P D （圖2）

F C B C B

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