2015年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試

理 科 數(shù) 學

(寧夏固原一中第一次模擬考試)

本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，其中第Ⅱ卷第22～24題為選考題，其它題為必考題。考生作答時，將答案答在答題卡上，在本試卷上答題無效?？荚嚱Y束后，將本試卷和答題卡一并交回。 注意事項：

1．答題前，考生務必先將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上，認真核對條形碼上的姓名、準考證號，并將條形碼粘貼在答題卡的指定位置上。

2．選擇題答案使用2B鉛筆填涂,如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案的標號；非選擇題答案使用0.5毫米的黑色中性（簽字）筆或碳素筆書寫，字體工整、筆跡清楚。

3．請按照題號在各題的答題區(qū)域(黑色線框)內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效。 4．保持卡面清潔，不折疊，不破損。

5．做選考題時，考生按照題目要求作答，并用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對應的題號涂黑。

第I卷

一、選擇題:本大題共12小題,每小題5分,共60分,在每小題給出的四個選項中,只有一項是

符合題目要求的．

1．已知全集U=R，集合A?xy?lg(x?1)則A∩(CUB)= A．

B．

D．(1,2)

??，集合B??yy?x2?2x?5?，

2．已知直線m、n和平面?，則m∥n的必要非充分條件是 A．m、n與?成等角 B. m⊥?且n⊥? C. m∥?且n?? D．m∥?且n∥? 3．若等比數(shù)列{an}的前n項和Sn?a?3n?2，則a2? A．4

B．12

C．24

D．36

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理科數(shù)學試卷 第1頁(共6頁)

4．已知復數(shù)(1?i)(a?bi)?2?4i(a,b?R)，函數(shù)f(x)?2sin(ax?對稱中心是 A. （??6)?b圖象的一個

?6,1） B. （??18,0） C.（??6,3） D.（5?,1） 18開始 5．如圖給出的是計算

111的值的程序框圖，則圖中 ??????24100是 S=0，n=2,i=1 判斷框內(nèi)（1）處和執(zhí)行框中的（2）處應填的語句是 A. i＞100,n=n+1

B. i＞100,n=n+2

輸出S (1) 否 S?S?1nC. i＞50,n=n+2 D. i≤50,n=n+2 6．設a???cosx?sinx?dx，則二項式

06?結束 (2) ?2a?3展開式中的項的系數(shù)為 xx???x??A. ?160 B. 20 C. ?20 D. 160 7．給出下列四個結論：

（1）如圖Rt?ABC中， AC?2,?B?90?,?C?30?.

D是斜邊AC上的點，|CD|=|CB|. 以B為起點 任作一條射線BE交AC于E點，則E點落在 線段CD上的概率是A D

E (第5題圖) i= i+1 3； 2B C

（2）設某大學的女生體重y(kg)與身高x(cm)具有線性相關關系，根據(jù)一組樣本數(shù)據(jù)(xi，yi)(i

^

＝1，2，…，n)，用最小二乘法建立的線性回歸方程為y＝0.85x－85.71，則若該大學某女生身高增加1 cm，則其體重約增加0.85 kg；

（3）為調(diào)查中學生近視情況,測得某校男生150名中有80名近視,在140名女生中有70名近視.

在檢驗這些學生眼睛近視是否與性別有關時,應該用性檢驗最有說服力; （4）已知隨機變量?服從正態(tài)分布N1,?2,P???4??0.79,則P????2??0.21;

其中正確結論的個數(shù)為 A. 1

8．一個四面體的頂點都在球面上，它們的正視圖、側(cè)視圖、俯 視圖都是右圖.圖中圓內(nèi)有一個以圓心為中心邊長為1的正 方形.則這個四面體的外接球的表面積是 A.?

B. 3?

C. 4?

D. 6?

B. 2 C. 3 D. 4

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(第8題圖)

?y?x?9．已知z?2x?y，其中實數(shù)x,y滿足?x?y?2，且z的最大值

?x?a?是最小值的4倍，則a的值是 A.

2111 B. C. 4 D.

411210．對于函數(shù)y?f(x)，部分x與y的對應關系如下表：

x y 1 3 2 7 3 5 4 9 5 6 6 1 7 8 8 2 9 4 數(shù)列{xn}滿足：x1?1，且對于任意n?N*，點(xn,xn?1)都在函數(shù)y?f(x)的圖像

上，則x1?x2?x3?x4???x2013?x2014的值為 A. 79

B. 75

C. 7539

D. 7553

y2x211．已知F2、F1是雙曲線2?2?1(a>0，b>0)的上、下焦點，點F2關于漸近線的對稱

ab點恰好落在以F1為圓心，|OF1|為半徑的圓上，則雙曲線的離心率為 A．3 B．3 C．2 D．2 12．已知函數(shù)f(x)=a?x???a1??-2lnx(a∈R)，g(x)=，若至少存在一個x0∈，使得f(x0)>g(x0)xx??成立，則實數(shù)a的范圍為

A．[1，+∞) B．(1，+∞) C．[0，+∞) D．(0，+∞)

第Ⅱ卷

本卷包括必考題和選考題兩部分．第13題～第21題為必考題，每個試題考生都必須做答．第22題～第24題為選考題，考生根據(jù)要求做答． 二、填空題：本大題共4小題，每小題5分． 13．等差數(shù)列?an?中，a4?a8?a12?6，則a9?14．若?1a11? . 3??(0,?)，且3cos2??sin(??)，則sin2?的值為 .

415．在某地的奧運火炬?zhèn)鬟f活動中，有編號為1，2，3，…，18的18名火炬手.若從中任選

3人，則選出的火炬手的編號能組成以3為公差的等差數(shù)列的概率為 .

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16．在直角坐標平面xoy中，F(xiàn)是拋物線C: x2?2py（p>0）的焦點，M是拋物線C上位于第一象限內(nèi)的任意一點，過M,F,O三點的圓的圓心為Q,點Q到拋物線C的準線的

3距離為，則拋物線C的方程為__________________．

4三、解答題:解答應寫出文字說明．證明過程或演算步驟

17.（本小題滿分12分）

?ABC中內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c，向量m?(2sinB,?3),n?(cos2B,2cos2B?1)2

m?(2sinB,?3),n?(cos2B,2cos2B?1)且m//n 2 （1）求銳角B的大?。?p>（2）如果b?2，求?ABC的面積S?ABC的最大值．

18．（本小題滿分12分）

如圖，AB是半圓O的直徑，C是半圓O上除A、B外的一個動點，DC垂直于半圓

O所在的平面， DC∥EB，DC?EB，AB?4，tan?EAB?⑴證明：平面ADE?平面ACD； ⑵當三棱錐C?ADE體積最大時， 求二面角D?AE?B的余弦值．

19．(本題滿分12分)

1． 4某權威機構發(fā)布了2013年度“城市居民幸福排行榜”，某市成為本年度城市最“幸福城”.隨后，該市某校學生會組織部分同學，用“10分制”隨機調(diào)查“陽光”社區(qū)人們的幸福度.現(xiàn)從調(diào)查人群中隨機抽取16名，如圖所示的莖葉圖記錄了他們的幸福度分數(shù)(以小數(shù)點前的一位數(shù)字為莖，小數(shù)點后的一位數(shù)字為葉)：

（1）指出這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)；

（2）若幸福度不低于9.5分，則稱該人的幸福度為“極幸福”.求從這16人中隨機選取3人，至多有1人是“極幸?！钡母怕剩?p>（3）以這16人的樣本數(shù)據(jù)來估計整個社區(qū)的總體數(shù)據(jù)，若從該社區(qū)(人數(shù)很多)任選3人，記?表示抽到“極幸?！钡娜藬?shù)，求?的分布列及數(shù)學期望．

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20．(本小題滿分12分)

x2y2己知A、B、C是橢圓m：2?2?1（a?b?0）上的三點，其中點A的坐標為

ab(23,0)，BC過橢圓的中心，且AC?BC?0，|BC|?2|AC|。

（1）求橢圓m的方程；

（2）過點(0,t)的直線l(斜率存在時)與橢圓m交于兩點P，Q，設D為橢圓m與y 軸負半軸的交點，且|DP|?|DQ|，求實數(shù)t的取值范圍．

21. (本小題滿分12分)

已知函數(shù)f(x)=lnx?kx?1. （1）求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若f(x)?0恒成立，試確定實數(shù)k的取值范圍； （3）證明：

ln2ln3lnnn(n?1)?（n?N,n?1） ?????34n?14請考生在第22、23、24三題中任選一題做答，如果多做，則按所做的第一題記分.答

理科數(shù)學試卷 第5頁(共6頁) 時用2B鉛筆在答題卡上把所選題目的題號涂黑. 22.（本小題滿分10分） 選修4—1；幾何證明選講．

如圖,圓O的直徑AB?10,P是AB延長線上一點,BP?2,割線PCD交圓O于點

C,D,過點P作AP的垂線,交直線AC于點E,交直線AD于點F.

(I)求證:?PEC??PDF; (II)求PE?PF的值.

23.（本小題滿分10分）選修4—4: 坐標系與參數(shù)方程．

1?x?1?t,??x?cos?,?2已知直線?:? （?為參數(shù)）. (t為參數(shù)), 曲線C1:?3y?sin?,??y?t.?2? (I)設?與C1相交于A,B兩點,求|AB|；

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(II)若把曲線C1上各點的橫坐標壓縮為原來的31倍,縱坐標壓縮為原來的倍,得到22曲線C2,設點P是曲線C2上的一個動點,求它到直線?的距離的最小值.

24．（本小題滿分10分）選修4—5；不等式選講．

設不等式|2x?1|?1的解集是M，a,b?M． （I）試比較ab?1與a?b的大??；

22?2??2a?b,,（II）設max表示數(shù)集A的最大數(shù)．h?max??,求證：h??abb??a2．

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寧夏固原一中2015屆高三第一次模擬考試數(shù)學(理科)參

一、選擇題 題號 1 答案 D 二、填空題 13.

2 A 3 B 4 D 5 C 6 A 7 C 8 B 9 B 10 A 11 C 12 D 41712 14. 1或? 15. 16. x?2y 31868三．解答題

17.（本小題滿分12分）

???m//n ?2sinB(2cos2B?1)??3cos2B 解：（Ⅰ）

2?sin2B??3cos2B 即 tan2B??3

2??又?B為銳角 ?2B??0,?? ?2B? ?B?33

a2?c2?b2?（2）B?,b?2， 由余弦定理得cosB?即a2?c2?ac?4?0-

2ac3又?a2?c2?2ac 代入上式得ac?4（當且僅當 a?c?2時等號成立）

13）…12分 S?ABC?acsinB?ac?3（當且僅當 a?c?2時等號成立。

2418．（本小題滿分12分）

解：（Ⅰ）證明：因為AB是直徑，所以BC?AC

因為CD?平面ABC，所以CD?BC ， 因為CD?AC?C，所以BC?平面ACD

因為CD//BE， CD?BE，所以BCDE是平行四邊形， BC//DE，所以DE?平面ACD

因為DE?平面ADE，所以平面ADE?平面ACD （Ⅱ）依題意，EB?AB?tan?EAB?4?1?1 ， 4111由（Ⅰ）知VC?ADE?VE?ACD??S?ACD?DE???AC?CD?DE

3321114??AC?BC??(AC2?BC2)??AB2?， 612123z 當且僅當AC?BC?22時等號成立 …………8分

D如圖所示，建立空間直角坐標系，則D(0,0,1)，E(0,22,1)， A(22,0,0)B(0,22,0)，

則AB?(?22,22,0)，BE?(0,0,1)，

CDE?(0,22,0)，DA?(22,0,?1,)

o AE??n1?DE?0設面DAE的法向量為n1?(x,y,z)，?，

??n1?DA?0O?Bx y

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??22y?0即??n1?(1,0,22)， ??22x?z?0??n2?BE?0設面ABE的法向量為n2?(x,y,z)， ?，

??n2?AB?0??z?0即??n2?(1,1,0)， ???22x?22y?0?cosn1,n2?n1n2n1n2?12 ?629可以判斷n1,n2與二面角D?AE?B的平面角互補

?二面角D?AE?B的余弦值為?2.…12分 6 19．(本題滿分12分) 解：（1）眾數(shù)：8.6； 中位數(shù)：8.75 ；……………2分

（2）設Ai表示所取3人中有i個人是“極幸?！保炼嘤?人是“極幸?！庇洖槭录嗀，

312CCC12121 ； …………6分 124則P(A)?P(A0)?P(A1)???33140C16C16（3）ξ的可能取值為0，1，2，3.

27； 1132 P(??0)?(3)3?27；P(??1)?C3()?444139；11………………10分

P(??2)?C32()2?P(??3)?()3?444所以ξ的分布列為： ξ P 0 27 1 27 2 9 3 1 E??0?272791?1??2??3??0.75. ……………12分 k另解：ξ的可能取值為0，1，2，3.則?~B(3,)，P(??k)?C3()k()3?k.

141434 所以E?=3?1?0.75． 420.(本小題滿分12分)

解：（Ⅰ）∵|BC|?2|AC且BC過(0,0)，則|OC|?|AC|．

∵AC?BC?0，∴?OCA?90?，即C(3,3)．

x2y2??1， 又∵a?23，設橢圓m的方程為

1212?c23322將C點坐標代入得，解得，c?8b?4． ??121212?cx2y2??1． ∴橢圓m的方程為

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（Ⅱ）由條件D(0,?2)，當k?0時，顯然?2?t?2；

?x2y2?1??222當k?0時，設l：y?kx?t，?12，消y得(1?3k)x?6ktx?3t?12?04?y?kx?t?由??0可得，t2?4?12k2 ……①…

x?x2?3kt設P(x1,y1)，Q(x2,y2)，PQ中點H(x0,y0)，則x0?1，?21?3k2t3ktt, ∴y0?kx0?t?H(?,)． 2221?3k1?3k1?3kt?2211由|DP|?DQ|，∴DH?PQ，即kDH??。∴1?3k??，

3ktkk??021?3k化簡得t?1?3k2……② ∴t?1 將①代入②得，1?t?4。 ∴t的范圍是(1,4)。綜上t?(?2,4)．………12

21. (本小題滿分12分)

解：函數(shù)f(x)的定義域為(0,??)， f?(x)?當k?0時，f?(x)?1?k. x1?k?0，則f(x)在(0,??)上是增函數(shù)； x111當k?0時，若x?(0,)，則f?(x)??k?0；若x?(,??)，則

kxk1f?(x)??k?0.

x11所以f(x)在(0,)上是增函數(shù)，在(,??)上是減函數(shù). …………4分

kk（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知k?0時，則f(x)在(0,??)上是增函數(shù)，而f(1)?1?k?0，f(x)?01不成立，故k?0.當k?0時，由（Ⅰ）知f(x)的最大值為f()，要使f(x)?0k1恒成立，則需f()=?lnk?0，解得k?1. …8分

k（Ⅲ）證明：由（Ⅱ）知，當k?1時有f(x)?0在(0,??)恒成立，且f(x)在(1,??) 上

是減函數(shù)，f(1)?0，所以lnx?x?1在?2,???上恒成立.

lnnn?1令x?n2，則lnn2?n2?1，即2lnn?(n?1)(n?1)，從而. ?n?12ln2ln3lnn123n?1n(n?1)所以=.（證畢）12分 ??????????2434n?122222.（本小題滿分10分）

解法1:(I)連接BC,則?ACB??APE?90, 即B、P、E、C四點共圓.

∴?PEC??CBA 又A、B、C、D四點共圓, ∴?CBA??PDF

∴?PEC??PDF ∵?PEC??PDF, ∴F、E、C、D四點共圓,

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? ∴PE?PF?PC?PD,又PC?PD?PB?PA?2?(2?10)?24, PE?PF?24. 解法2:(I)連接BD,則BD?AD,又EP?AP

∴?PDF??PDB??PEA??EAP?90, ∵?PDB??EAP,∴?PEC??PDF (II)∵?PEC??PDF,?EPC??DPF,

?PCPE??PECPFPD, ?PDF ∴∽,∴即PE?PF?PC?PD,

又∵PC?PD?PB?PA?2(2?10)?24, ∴PE?PF?24

23.（本小題滿分10分） 解.（I）?的普通方程為y?聯(lián)立方程組則|AB|?1.

3(x?1),C1的普通方程為x2?y2?1.

?13?y?3(x?1),?解得與的交點為,CB(,?), A(1,0)?21222??x?y?1,1cos?,132sin?),(?為參數(shù)).故點P的坐標是(cos?,322sin?.2|33cos??sin??3|3?22?[2sin(??)?2],

244?x??? （II）C2的參數(shù)方程為??y???從而點P到直線?的距離是d?由此當sin(???4)??1時,d取得最小值,且最小值為

6(2?1). 424．（本小題滿分10分）選修4—5；不等式選講．

解：由|2x?1|?1得?1?2x?1?1,解得0?x?1.所以M?{x|0?x?1}. （I） 由a,b?M，得0?a?1,0?b?1，

所以(ab?1)?(a?b)?(a?1)(b?1)?0.故ab?1?a?b.

?2a2?b22a2?b222,,}，得h?（II）由h?max?，h?， ,h?abbabab?a2a2?b224(a2?b2)3????8，故h?2. 所以h?abaabb

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