例談數(shù)形結(jié)合思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

泰州市泰東實(shí)驗(yàn)學(xué)校 李濤

論文提要：

數(shù)和形是數(shù)學(xué)研究的兩個基本對象，“數(shù)”構(gòu)成了數(shù)學(xué)的抽象化符號語言，“形”構(gòu)成了數(shù)學(xué)的直觀化圖形語言。他們各有優(yōu)勢，人們常常把“數(shù)”和“形”結(jié)合起來，通過“以形助數(shù)”或“以數(shù)解形”，使數(shù)量的精確刻畫與空間形式的直觀形象和諧統(tǒng)一，從而使問題得以巧妙地解決。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)充分重視數(shù)形結(jié)合思想在學(xué)生學(xué)習(xí)中的有機(jī)滲透和應(yīng)用，這樣有利于學(xué)生更好地掌握數(shù)學(xué)知識，更深刻地理解知識的本質(zhì)，更靈活地發(fā)現(xiàn)、提出和解決問題，感受數(shù)學(xué)的真與美。

主題詞：數(shù)形結(jié)合 小學(xué)數(shù)學(xué) 以形助數(shù) 以數(shù)解形 辨假存真 正文：

數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界空間形式和數(shù)量關(guān)系的科學(xué)?？臻g形式?？醋鳌靶巍?，進(jìn)一步擴(kuò)展為數(shù)學(xué)中有形的可視的東西，如圖形、圖像、曲線等；數(shù)學(xué)量關(guān)系常看作“數(shù)”，進(jìn)一步擴(kuò)展為抽象的形式化的數(shù)學(xué)對象，如數(shù)、式、方程等等。“形”構(gòu)成了數(shù)學(xué)的直觀化圖形語言，“數(shù)”構(gòu)成了數(shù)學(xué)的抽象化符號語言，由于“數(shù)”和“形”各有優(yōu)勢，所以人們常常把數(shù)和形結(jié)合起來進(jìn)行思考，使數(shù)量的精確刻畫與空間形式的直觀形象巧妙、和諧地結(jié)合在一起，尋找解題思路的一種思想。它包含著轉(zhuǎn)化方向相反的兩個方面，一是由數(shù)及形，對于表面上屬于代數(shù)類的問題，充分利用“形”把其中數(shù)量關(guān)系的幾何特征形象地表示出來，通過對圖形的處理，發(fā)揮直觀對抽象的支柱作用，實(shí)現(xiàn)抽象概念與具體形象、表象的聯(lián)系和轉(zhuǎn)化，化抽象為直觀，以形助數(shù)，使問題獲解。美國著名數(shù)學(xué)家斯蒂恩說過：“如果一個特定的問題可以轉(zhuǎn)化為圖形，那么，思想就整體把握了問題，并且能創(chuàng)造性地思索問題的解法?！倍怯尚渭皵?shù)，根據(jù)圖形結(jié)構(gòu)關(guān)系特征，尋找恰當(dāng)表達(dá)問題的數(shù)量關(guān)系式，將幾何問題代數(shù)化，利用代數(shù)的算法化優(yōu)勢，以數(shù)助形，使問題獲解。

華羅庚先生曾作一首著名的小詩描述數(shù)形結(jié)合思想：數(shù)形本是相倚依，怎能分作兩邊飛；數(shù)缺形時少直覺，形少數(shù)時難入微；數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休；幾何代數(shù)統(tǒng)一體，永遠(yuǎn)聯(lián)系莫分離?！边@首詩向我們深刻地描繪了數(shù)形之間的和諧。

在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)形結(jié)合作為一種數(shù)學(xué)思想，主要是以滲透的教學(xué)形態(tài)為主，它蘊(yùn)含于數(shù)學(xué)知識之中，又高于具體知識的一種理性認(rèn)識，在教學(xué)中，要以數(shù)學(xué)知識為載體，通過對數(shù)學(xué)問題的分析和解決過程來體現(xiàn)，強(qiáng)調(diào)學(xué)生自身對數(shù)形結(jié)合思想的體驗(yàn)和感悟，也就是通過潛移默化的手段使數(shù)學(xué)思想悄然扎根于學(xué)生的頭

腦之中，逐步成長為一種意識、觀念和素質(zhì)，并在后續(xù)的學(xué)習(xí)、工作、生活中隨時隨地發(fā)揮作用，使他們終生受益。數(shù)形結(jié)合思想隱含于不同層次的不同知識點(diǎn)中，因此，學(xué)生理解和形成數(shù)形結(jié)合思想需要一個長期的過程，需要在這個過程中逐步豐富認(rèn)識、積累經(jīng)驗(yàn)、加深感悟。

下面結(jié)合小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，談?wù)剶?shù)形結(jié)合思想在其中的應(yīng)用。 一、由數(shù)及形，以形助數(shù)

數(shù)軸是數(shù)形結(jié)合最基本的載體，在一年級上冊學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)的初步認(rèn)識時就有了相應(yīng)的體現(xiàn)。

例1．蘇教2012版義務(wù)教育教科書一年級上冊第21頁第3題： 填一填，讀一讀。

0 2 3 教師應(yīng)充分引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真觀察數(shù)軸的特點(diǎn)，直觀形象地體驗(yàn)點(diǎn)與數(shù)的關(guān)系，如點(diǎn)與數(shù)的一一對應(yīng)、數(shù)的有序性等，使學(xué)生很容易感悟理解數(shù)的順序、大小等特點(diǎn)。

巧用直觀圖形幫助理解并解決實(shí)際問題，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中有著大量的應(yīng)用。 例2．蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)三年級上冊第45頁思考題：

媽媽的年齡是小芳的4倍，媽媽比小芳大27歲，媽媽和小芳各多少歲？ 這種題對于三年級學(xué)生來說，往往較難解決，但如果老師能夠充分重視引導(dǎo)學(xué)生在讀懂題目的基礎(chǔ)上，畫出線段圖，則大部分學(xué)生都能夠很順利地解決。

小芳 媽媽

27歲

從線段圖中，我們可以形象地看出，小芳的年齡用1份線段表示，媽媽的年齡就可以用這樣的4份表示，媽媽比小芳大的27歲則是這樣的3份，由此可以引導(dǎo)學(xué)生求出1份線段表示的年齡是：27÷3=9（歲），即小芳的年齡是9歲，媽媽的年齡則是：9×4=36（歲）。

例3．在進(jìn)行三年級“加減乘除整理”教學(xué)時，老師問學(xué)生：加數(shù)相同時可用乘法計(jì)算，不同的加數(shù)相加時可以用乘法計(jì)算嗎？比如2＋4＋6=？

老師適時出示如下左圖，學(xué)生經(jīng)過思考討論，認(rèn)為可以將圖中的小方塊進(jìn)行“移多補(bǔ)少”，將最下面的6個方塊中移2個給上面，這樣每排都是4個小方塊，即右圖，可以看出是“3個4”，能用4×3=12這樣的乘法算式進(jìn)行計(jì)算。

在這里，圖形起到了關(guān)鍵性的作用，將抽象的“數(shù)”轉(zhuǎn)化成直觀的“形”，學(xué)生通過對“形”的充分觀察思考，能很輕松愉悅地理解不同加數(shù)相加（有特定要求）轉(zhuǎn)化為乘法的算理。在這里，學(xué)生不僅感悟了數(shù)形結(jié)合思想的魅力，還感悟了轉(zhuǎn)化的思想、移多補(bǔ)少的方法等。

二、由形及數(shù)，以數(shù)解形

事實(shí)上，小學(xué)階段涉及到的所有圖形都蘊(yùn)含著簡明精要的數(shù)量關(guān)系，尤其是一些基本圖形，它們的某些屬性都是由數(shù)量關(guān)系反映出來的。如長方形、正方形的周長和面積計(jì)算公式等。

例4．蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)六年級上冊第15頁例4：

做一個長6厘米、寬5厘米、高4厘米的長方體紙盒，至少要用多少平方厘米硬紙板？（圖略）

教師引導(dǎo)學(xué)生借助圖形直觀分析，要求“至少要用多少平方厘米的硬紙板”就是求該長方體的表面積，也就是求6個面的面積總和。從而引導(dǎo)學(xué)生得出：分別求出3組相對的面的面積，再相加，列式：

6×5×2＋6×4×2＋4×5×2

也有學(xué)生提出：六個面可以分為2組，先分別求出每組中一個面的面積，相加后再乘2，列式：

（6×5＋6×4＋4×5）×2

這時，老師引導(dǎo)學(xué)生觀察：這兩種解法在算理上有什么聯(lián)系？經(jīng)過討論，一致認(rèn)為這兩個算式可以用乘法分配律進(jìn)行解釋，從而進(jìn)一步增強(qiáng)了“形”與“數(shù)”、“數(shù)”與“數(shù)”之間的內(nèi)在聯(lián)系。在此基礎(chǔ)上，抽象出求長方體表面積的數(shù)量關(guān)系模型：長方體的表面積=長×寬×2＋長×高×2＋寬×高×2或（長×寬＋長×高＋寬×高）×2。使圖形問題的解決更加簡捷。

三、數(shù)形結(jié)合，辨假求真

“形”直觀形象，但有時卻給人以假象，“數(shù)”的計(jì)算就比較確切精準(zhǔn)。在引導(dǎo)學(xué)生充分利用“形”的直觀形象時，要注意逐步培養(yǎng)學(xué)生從“數(shù)”的角度進(jìn)行計(jì)算、驗(yàn)證，培養(yǎng)科學(xué)的求真精神。

在蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)五年級下冊學(xué)完“圓的認(rèn)識”單元后，有位老師給學(xué)生出了

道題目：

例5．假設(shè)有一個表面極其光滑而且像地球那樣大的圓球，一條鋼帶緊緊箍住了這個球的赤道。如今給這條鋼帶增加1米的長度，使得鋼帶離開了球的表面，并且處處同球保持著相等的距離。鋼帶的這種升高，是不是足以使你能夠在鋼帶下面塞進(jìn)你的一只拳頭？

面對這個問題，孩子們伸出拳頭看看，認(rèn)為這怎么可能呢？那么大的圓，增加1米的長度簡直是微不足道的。于是憑著自己的直觀想象，紛紛認(rèn)為這不可能！

于是，老師引導(dǎo)學(xué)生利用有關(guān)圓周長的數(shù)量關(guān)系進(jìn)行計(jì)算：

假設(shè)鋼帶箍住圓球時，鋼帶形成的圓的半徑是a米，當(dāng)圓周長增加1米后，圓的半徑多了b米，即增加后的圓半徑是（a＋b）米，列出數(shù)量關(guān)系式并解出：

2π（a＋b）=2πa＋1 2πa＋2πb=2πa＋1

2πb=1 b=1÷2π b≈0.16

結(jié)果似乎令人驚奇！半徑竟然多出了16厘米左右！簡直不可想象。然而這卻是計(jì)算的真實(shí)結(jié)果。實(shí)際上，從上面的計(jì)算可以看出，這個圓球不論是地球還是足球，升高的高度是完全一樣的，都是大約16厘米，這有點(diǎn)超出幾何直觀。老師可以建議學(xué)生舉例實(shí)際動手做一做，試一試。

總之，數(shù)形結(jié)合能使數(shù)量的精確刻畫與空間形式的直觀形象達(dá)到和諧統(tǒng)一，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中有機(jī)滲透數(shù)形結(jié)合思想，不僅有利于學(xué)生更好地掌握相應(yīng)的數(shù)學(xué)知識，提高發(fā)現(xiàn)、提出和解決相關(guān)的數(shù)學(xué)問題的能力，更能讓他們感受到數(shù)學(xué)的真與美。

參考文獻(xiàn)：

1．顧泠沅主編，邵光華著《作為教育任務(wù)的數(shù)學(xué)思想與方法》，上海教育出版社，2009.9

2．王林等著《小學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)研究與實(shí)踐》，江蘇教育出版社，2011.7