訓(xùn)練8 充分條件與必要條件

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1.如果p?q,qp,那么p是q的( )

A.必要而不充分條件 B.充分而不必要條件 C.充要條件 D.既不充分又不必要條件 答案：B

解析：由充要條件的定義易知.

2.觀察右圖,說(shuō)明p是s的_____________條件.( )

A.充分不必要 B.必要不充分

C.充要 D.既不充分又不必要 答案：A

解析：由題圖易知p?t?s,但sp.

3.若?A是B的充分不必要條件,則A是?B的( )

A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充要條件 D.既不充分也不必要條件 答案：B

解析：由原命題?逆否命題知:?A?B??B?A,B?A?A?B. 4.設(shè)p:0A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件 答案：A

解析：q即:-35.如果命題:“若A則B”的否命題是真命題,而它的逆否命題是假命題,則A是B的________條件.

答案：必要不充分

解析：由題知,原命題為假命題,即AB. 逆命題為真命題,即B?A. 故A是B的必要不充分條件.

6.命題甲:x+y≠3,命題乙:x≠1或y≠2,則甲是乙的___________________條件. 答案：充分不必要

解析：命題乙的否定為:x=1且y=2;命題甲的否定是:x+y=3. 當(dāng)然非乙?非甲,但非甲非乙,

也即甲?乙,但乙甲.所以甲是乙的充分不必要條件.

7.指出下列各組命題中,p是q的什么條件(在“充分而不必要條件”“必要而不充分條件”“充要條件”“既不充分也不必要條件”中選出一種)? (1)p:x∈{x|x>-2或x<3},q:x∈{x|x2-x-6<0}; (2)p:a與b都是奇數(shù),q:a+b是偶數(shù). 解：(1)∵x∈{x|x2-x-6<0}={x|-2-2或x<3}x∈{x|-2- 1 - / 4

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而x∈{x|-2-2或x<3},所以p是q的必要而不充分條件. (2)∵a、b都是奇數(shù)a+b是偶數(shù),而a+b是偶數(shù)a、b都是奇數(shù), ∴p是q的充分而不必要條件. 能力提升 踮起腳,抓得住!

8.(某某某某模擬)設(shè)條件p:|x|>1,條件q:x<-2,則?p是?q的( ) A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充要條件 D.既不充分也不必要條件 答案：A

解析：p:|x|>1,∴?p:-1≤x≤1.又q:x<-2,∴?q:x≥-2,∴?p是?q的充分不必要條件.選A. 9.設(shè)f(x)=x2-4x(x∈R),則f(x)>0的一個(gè)必要不充分條件是( ) A.x<0 B.x<0或x>4 C.|x-1|>1 D.|x-2|>3 答案：A

解析：f(x)>0?x<0或x>4. ∴x<0f(x)>0.

10.已知a為非零實(shí)數(shù),x為實(shí)數(shù),則命題“x∈{-a,a}”是“|x|=a”的________________條件. 答案：既不充分也不必要

解析：當(dāng)a>0時(shí),x∈{-a,a}?|x|=a; 當(dāng)a<0時(shí),x∈{-a,a}|x|=a.

11.方程3x2-10x+k=0有兩個(gè)同號(hào)且不相等的實(shí)根的充要條件是________________. 答案：025 3?100?12k?0,???0?解析：方程有兩個(gè)同號(hào)且不相等的實(shí)根?? ??k?x1x2?0??0.?325. 3x?112.已知p:|1-|≤2,q:x2-2x+1-m2≤0(m>0),且?p是?q的必要不充分條件,某某數(shù)m的取值3解之即得0X圍.

解法一：由x2-2x+1-m2≤0得1-m≤x≤1+m, ∴?:A={x|x>1+m或x<1-m,m>0}. 由|1-

x?1|≤2得-2≤x≤10, 3∴?:B={x|x<-2或x>10}.

∵?p是?q的必要而不充分條件,

?m?0,?∴A?B??1?m??2,解得m≥9.

?1?m?10,?解法二：∵?p是?q的必要而不充分條件, ∴q是p的必要而不充分條件. ∴p是q的充分而不必要條件.

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由x2-2x+1-m2≤0得1-m≤x≤1+m(m>0). ∴q:Q={x|1-m≤x≤1+m,m>0}. 又由|1-

p?1|≤2得-2≤x≤10, 3∴p:P={x|-2≤x≤10}.

∵p是q的充分而不必要條件,

?m?0,?∴P?Q??1?m??2,解得m≥9.

?1?m?10,?13.已知a、b、c都是實(shí)數(shù),證明ac<0是關(guān)于x的方程ax2+bx+c=0有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根的充要條件.

證明：(1)充分性:

若ac<0,則Δ=b2-4ac>0,方程ax2+bx+c=0有兩個(gè)相異的實(shí)根,設(shè)為x1、x2, ∵ac<0,∴x1·x2=(2)必要性:

若方程ax2+bx+c=0有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根,設(shè)為x1、x2,不妨設(shè)x1<0,x2>0.則x1x2=

c<0,即x1、x2的符號(hào)相反,方程有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根. ac<0,∴ac<0. a由(1)(2)知ac<0是方程ax2+bx+c=0有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根的充要條件. 拓展應(yīng)用 跳一跳，夠得著！

14.ax2+2x+1=0中至少有一個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)根的充要條件是( )

A.0解析：驗(yàn)證a=0和a=1都滿足題意.

15.全集為U,在下列條件中,哪些是B?A的充要條件? (1)A∪B=A;(2)

A∩B=?;(3)

A?

B;(4)A∪

B=U.

答案是(填序號(hào))______________. 答案：(1)(2)(3)(4)

解析：作文氏圖,利用圖形的直觀性可知:①—④均是B?A的充要條件.

16.求證:關(guān)于x的方程x2+2ax+b=0有實(shí)數(shù)根,且兩根均小于2的充分但不必要條件是a≥2且|b|≤4.

證明：∵a≥2,|b|≤4,∴a2≥4≥b. ∴Δ=4(a2-b)≥0.

∴方程x2+2ax+b=0有實(shí)根. 又∵??a?2??2a??4, ???b??4?b??4,∴(x1-2)+(x2-2)=(x1+x2)-4=-2a-4≤-4-4=-8<0.

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而(x1-2)(x2-2)=x1x2-2(x1+x2)+4=b+4a+4≥-4+8+4=8>0, ∴??(x1?2)?(x2?2)?0?x1?2, ???(x1?2)(x2?2)?0?x2?2.1<2, 2由以上知,“a≥2且|b|≤4”方程有實(shí)數(shù)根且兩根均小于2.

再驗(yàn)證條件不必要:取x2-x=0的兩根為x1=0,x2=1,則方程的兩根均小于2,而a=-∴“方程的兩根小于2”“a≥2且|b|≤4”.

綜上,a≥2且|b|≤4是方程有實(shí)數(shù)根且兩根均小于2的充分但不必要條件.

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