基本知識(shí) 一、向量

1、已知空間中任意兩點(diǎn)M1(x1,y1,z1)和M2(x2,y2,z2)，則向量

M1M2?(x2?x1,y2?y1,z2?z1)

2、已知向量a?(a1,a2,a3)、b?(b1,b2,b3)，則 （1）向量a的模為|a|???????a1?a2?a3

222（2）a?b?(a1?b1,a2?b2,a3?b3) （3）?a?(?a1,?a2,?a3) 3、向量的內(nèi)積a?b

（1）a?b?|a|?|b|?cos?a,b? （2）a?b?a1b1?a2b2?a3b3

其中?a,b?為向量a,b的夾角，且0??a,b???

注意：利用向量的內(nèi)積可求直線與直線的夾角、直線與平面的夾角、平面與平面的夾角。 4、向量的外積a?b（遵循右手原則，且a?b?a、a?b?b）

??????????????????????????ia?b?a1b1?????ja2b2?ka3 b3??5、（1）a//b?a??b?????a1a2a3?? b1b2b3（2）a?b?a?b?0?a1b1?a2b2?a3b3?0 二、平面

1、平面的點(diǎn)法式方程

已知平面過(guò)點(diǎn)P(x0,y0,z0)，且法向量為n?(A,B,C)，則平面方程為

?A(x?x0)?B(y?y0)?C(z?z0)?0

注意：法向量為n?(A,B,C)垂直于平面

2、平面的一般方程Ax?By?Cz?D?0，其中法向量為n?(A,B,C) 3、（1）平面過(guò)原點(diǎn)(0,0,0)? Ax?By?Cz?0

（2）平面與x軸平行（與yoz面垂直）?法向量n垂直于x軸?By?Cz?D?0

（如果D?0，則平面過(guò)x軸）

平面與y軸平行（與xoz面垂直）?法向量n垂直于y軸?Ax?Cz?D?0

（如果D?0，則平面過(guò)y軸）

平面與z軸平行（與xoy面垂直）?法向量n垂直于z軸?Ax?By?D?0

（如果D?0，則平面過(guò)z軸）

（3）平面與xoy面平行?法向量n垂直于xoy面?Cz?D?0

平面與xoz面平行?法向量n垂直于xoz面?By?D?0 平面與yoz面平行?法向量n垂直于yoz面?Ax?D?0 注意：法向量的表示 三、直線

1、直線的對(duì)稱式方程

過(guò)點(diǎn)P(x0,y0,z0)且方向向量為v?(v1,v2,v3)直線方程

??????????x?x0y?y0z?z0?? v1v2v3注意：方向向量v?(v1,v2,v3)和直線平行 2、直線的一般方程??A1x?B1y?C1z?D1?0，注意該直線為平面

?A2x?B2y?C2z?D2?0A1x?B1y?C1z?D1?0和A2x?B2y?C2z?D2?0的交線

?x?x0?v1t?3、直線的參數(shù)方程?y?y0?v2t

?z?z?vt03?4、（1）方向向量v?(0,v2,v3)，直線垂直于x軸 （2）方向向量v?(v1,0,v3)，直線垂直于y軸 （3）方向向量v?(v1,v2,0)，直線垂直于z軸 5、（1）方向向量v?(0,0,v3)，直線垂直于xoy面 （2）方向向量v?(0,v2,0)，直線垂直于xoz面 （3）方向向量v?(v1,0,0)，直線垂直于yoz面 應(yīng)用 一、柱面

??f1(x,y,z)?01、設(shè)柱面的準(zhǔn)線方程為?，母線的方向向量v?(v1,v2,v3)，求柱面方程

?f2(x,y,z)?0??????方法：在準(zhǔn)線上任取一點(diǎn)M(x1,y1,z1)，則過(guò)點(diǎn)M(x1,y1,z1)的母線為

x?x1y?y1z?z1?? v1v2v3又因?yàn)镸(x1,y1,z1)在準(zhǔn)線上，故

f1(x1,y1,z1)?0 （1） f2(x1,y1,z1)?0 （2）

令

x?x1y?y1z?z1???t （3） v1v2v3由（1）、（2）、（3）消去x1,y1,z1求出t，再把t代入求出關(guān)于x,y,z的方程F(x,y,z)?0，則該方程為所求柱面方程

?x2?y2?z2?1?例1：柱面的準(zhǔn)線為?，而母線的方向?yàn)関???1,0,1?，求這柱面方

2222x?2y?z?2?程。 解：在柱面的準(zhǔn)線上任取一點(diǎn)M(x1,y1,z1)，則過(guò)點(diǎn)M(x1,y1,z1)的母線為

x?x1y?y1z?z1 ???101即x1?x?t,y1?y,z1?z?t（1）

又因?yàn)镸(x1,y1,z1)在準(zhǔn)線上，故x1?y1?z1?1（2），2x1?2y1?z1?2（3） 由（1）（2）（3）得x?y?z?2xz?1?0

2、圓柱面是動(dòng)點(diǎn)到對(duì)稱軸的距離相等的點(diǎn)的軌跡，該距離為圓柱面的半徑

方法：在圓柱面上任取一點(diǎn)M0(x0,y0,z0)，過(guò)M0(x0,y0,z0)點(diǎn)做一平面垂直于對(duì)稱軸，該平面的法向量為對(duì)稱軸的方向向量，把該平面方程和對(duì)稱軸方程聯(lián)立求得平面和對(duì)稱軸的交點(diǎn)M1(x1,y1,z1)，則|M0M1|為圓柱的半徑 例2：已知圓柱面的軸為柱面的方程。

解：設(shè)圓柱面上任取一點(diǎn)M0(x0,y0,z0)，過(guò)點(diǎn)M0(x0,y0,z0)且垂直于軸的平面為

222222222xy?1z?1，點(diǎn)M1（1，-2，1）在此圓柱面上，求這個(gè)圓??1?2?2(x?x0)?2(y?y0)?2(z?z0)?0

軸方程的參數(shù)式為x?t,y?1?2t,z??1?2t代入平面方程得

x0?2y0?2z0

9x?2y0?2z09?2x0?4y0?4z0?9?2x0?4y0?4z0,,) 故該平面和軸的交點(diǎn)為(0999115過(guò)點(diǎn)M1（1，-2，1）和軸垂直的平面和軸的交點(diǎn)為(,,?)

333 t?因?yàn)閳A柱截面的半徑相等，故利用距離公式得

8x2?5y2?5z2?4xy?4xz?8yz?18y?18z?99?0

注意：也可找圓柱面的準(zhǔn)線圓處理

例3：求以直線x=y=z為對(duì)稱軸，半徑R=1的圓柱面方程

解：在圓柱面上任取一點(diǎn)M0(x0,y0,z0)，過(guò)點(diǎn)M0(x0,y0,z0)且垂直于軸的平面為

(x?x0)?(y?y0)?(z?z0)?0

軸方程的參數(shù)式為x?t,y?t,z?t代入平面方程得

x0?y0?z0

3x?y0?z0x0?y0?z0x0?y0?z0,,) 故該平面和軸的交點(diǎn)為M1(0333 t?則M0M1的長(zhǎng)等于半徑R=1 故利用距離公式得

(x0?x0?y0?z02x?y0?z02x?y0?z02)?(y0?0)?(z0?0)?1

333222即所求方程為(2x0?y0?z0)?(?x0?2y0?z0)?(?x0?y0?2z0)?9

二、錐面

錐面是指過(guò)定點(diǎn)且與定曲線相交的所有直線產(chǎn)生的曲面。這些直線是母線，定點(diǎn)為頂點(diǎn)，定曲線為準(zhǔn)線。

?f1(x,y,z)?01、設(shè)錐面的準(zhǔn)線為?，頂點(diǎn)為M0(x0,y0,z0)，求錐面方程

f(x,y,z)?0?2方法：在準(zhǔn)線上任取一點(diǎn)M1(x1,y1,z1)，則過(guò)點(diǎn)M1(x1,y1,z1)的母線為

x?x0y?y0z?z0?? （1）

x1?x0y1?y0z1?z0又因?yàn)镸(x1,y1,z1)在準(zhǔn)線上，故

f1(x1,y1,z1)?0 （2） f2(x1,y1,z1)?0 （2）

由（1）、（2）、（3）消去x1,y1,z1求出關(guān)于x,y,z的方程F(x,y,z)?0，則該方程為所求錐面方程

?x2y2?例1錐面的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，且準(zhǔn)線為?a2?b2?1，求這錐面方程。

??z?c解：在準(zhǔn)線上任取一點(diǎn)M1(x1,y1,z1)，則過(guò)點(diǎn)M1(x1,y1,z1)的母線為

xyz?? x1y1z1xy又因?yàn)镸(x1,y1,z1)在準(zhǔn)線上，故12?12?1且z1?c

ab22x2y2z2上面三個(gè)方程消去x1,y1,z1得2?2?2?0

abc2、圓錐面

已知圓錐面的頂點(diǎn)M0(x0,y0,z0)，對(duì)稱軸（或軸）的方向向量為v?(v1,v2,v3)，求圓

?錐面方程

方法：在母線上任取一點(diǎn)M(x,y,z)，則過(guò)該點(diǎn)的母線的方向向量為

?n?(x?x0,y?y0,z?z0)

利用v和n的夾角不變建立關(guān)于x,y,z的方程，該方程為所求

例2求以三根坐標(biāo)軸為母線的圓錐面的方程。（(x?y?z)2?x2?y2?z2） 解：在坐標(biāo)軸上取三點(diǎn)(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)，則過(guò)三點(diǎn)的平面為

??x?y?z?1

故對(duì)稱軸的方向向量為(1,1,1)，一條母線的方向向量為(1,0,0)， 則母線和對(duì)稱軸的夾角為1?1?1?0?1?0?3?1?cos?，即cos???3 3在母線上任取一點(diǎn)M(x,y,z)，則過(guò)該點(diǎn)的母線的方向向量為n?(x,y,z)

x?y?z?x2?y2?z2?3cos?

所以(x?y?z)?x?y?z

例3圓錐面的頂點(diǎn)為(1,2,3)，軸垂直于平面2x?2y?z?1?0，母線和軸成30，求圓錐面方程

解：在母線上任取一點(diǎn)M(x,y,z)，軸的方向向量為(2,2,?1)，母線的方向向量為

?02222n?(x?1,y?2,z?3)

則2(x?1)?2(y?2)?(z?3)?2(x?1)2?(y?2)2?(z?3)2?9cos300

222即 4(2x?2y?z?3)?27(x?1)?27(y?2)?27(z?3) 三、旋轉(zhuǎn)曲面

?f1(x,y,z)?0x?x0y?y0z?z0??設(shè)旋轉(zhuǎn)曲面的母線方程為?，旋轉(zhuǎn)軸為，求旋轉(zhuǎn)

f(x,y,z)?0XYZ?2曲面方程

方法：在母線上任取一點(diǎn)M1(x1,y1,z1)，所以過(guò)M1(x1,y1,z1)的緯圓方程

?X(x?x1)?Y(y?y1)?Z(z?z1)?0 ?222222?(x?x0)?(y?y0)?(z?z0)?(x1?x0)?(y1?y0)?(z1?z0)又因?yàn)镸1(x1,y1,z1)在母線上，有

?f1(x1,y1,z1)?0 ??f2(x1,y1,z1)?0由上述四個(gè)方程消去x1,y1,z1的方程F(x,y,z)?0為旋轉(zhuǎn)曲面

xyz?1繞直線l：x?y?z旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)曲面的方程。 ??210解：在母線上任取一點(diǎn)M1(x1,y1,z1)，則過(guò)M1(x1,y1,z1)的緯圓方程

例4求直線

?(x?x1)?(y?y1)?(z?z1)?0 ?222222x?y?z?x?y?z111?又因?yàn)镸1(x1,y1,z1)在母線上，有

x1y1z1?1 ??2102222由上述方程消去x1,y1,z1的方程得9x?9y?9z?5(x?y?z?1)?9 四、幾種特殊的曲面方程 1、母線平行于坐標(biāo)軸的柱面方程 設(shè)柱面的準(zhǔn)線是xoy平面上的曲線??f(x,y)?0，則柱面方程為f(x,y)?0

z?0??g(x,z)?0設(shè)柱面的準(zhǔn)線是xoz平面上的曲線?，則柱面方程為g(x,z)?0

y?0?設(shè)柱面的準(zhǔn)線是yoz平面上的曲線??h(y,z)?0，則柱面方程為h(y,z)?0

?x?0注意：（1）母線平行于坐標(biāo)軸的柱面方程中只含兩個(gè)字母

（2）準(zhǔn)線為坐標(biāo)平面內(nèi)的橢圓、雙曲線、拋物線等柱面稱為橢圓柱面、雙曲線柱面、

拋物線柱面

例求柱面方程

?y2?2z（1）準(zhǔn)線是?，母線平行于x軸

?x?0解：柱面方程為y?2z

2?x2y2?z2?1??（2）準(zhǔn)線是?4，母線平行于y軸 9?y?3?解：柱面方程為x?4z

22?x2y2z2??1??（3）準(zhǔn)線是?4，母線平行于z軸 99?x?2?解：x?2

2、母線在坐標(biāo)面上，旋轉(zhuǎn)軸是坐標(biāo)軸的旋轉(zhuǎn)曲面

?f(x,y)?0設(shè)母線是?，旋轉(zhuǎn)軸是x軸的旋轉(zhuǎn)曲面為f(x,?y2?z2)?0；旋轉(zhuǎn)軸是y軸

z?0?的旋轉(zhuǎn)曲面為f(?x2?z2,y)?0 （同理可寫(xiě)出其它形式的旋轉(zhuǎn)曲面方程）

注意：此類旋轉(zhuǎn)方程中一定含有兩個(gè)字母的平方和的形式，且它們的系數(shù)相等。

y2z2??x?0是什么曲面，它是由xoy面上的什么曲線繞什么軸旋轉(zhuǎn)而成的 例方程22y2?x?0繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的 解：xoy面上的23、平行于坐標(biāo)面的平面和曲面f(x,y,z)?0的交線方程

平行于xoy面的平面z?h和曲面f(x,y,z)?0的交線為??f(x,y,h)?0

z?h??f(x,h,z)?0平行于xoz面的平面y?h和曲面f(x,y,z)?0的交線為?

y?h?平行于yoz面的平面x?h和曲面f(x,y,z)?0的交線為?例求曲面和三個(gè)坐標(biāo)面的交線 （1）x?y?16z?

222?f(h,y,z)?0

?x?h?x2?y2??x2?16z2??y2?16z2?解：?、?、?

?z?0?y?0?x?0（2）x?4y?16z? 解：注意在yoz面上無(wú)交線 （3）x?9y?10z 解：在xoy面上交于一點(diǎn)(0,0)

1、求點(diǎn)在平面上的投影、求點(diǎn)到平面的距離、求關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn) 方法：（1）過(guò)點(diǎn)作直線垂直于平面，該直線的方向向量為平面的法向量

（2）求直線和平面的交點(diǎn)，該交點(diǎn)為點(diǎn)在平面上的投影 例5（1）求點(diǎn)A(3,1,?1)在平面3x?y?z?20?0上的投影

（2）求點(diǎn)A(1,2,?5)到平面x?y?z?10?0的距離，并求該點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)

22222五、求投影

?3x?2y?2?0（1）求過(guò)直線?且與點(diǎn)M(1,2,1)的距離為1的平面方程

x?2y?z?6?0?2、求點(diǎn)在直線上的投影、求點(diǎn)到直線的距離、求關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn) 方法：（1）過(guò)點(diǎn)作平面垂直于直線，該平面的法向量為直線的方向向量

（2）求直線和平面的交點(diǎn)，該交點(diǎn)為點(diǎn)在直線上的投影 例6（1）求點(diǎn)A(1,?1,0)到直線

x?2y?1z?1的距離，該點(diǎn)在直線上的投影 ??201?2y?3z?3?0（2）求點(diǎn)M(1,?1,0)到直線?的距離

x?y?0?3、直線在平面上的投影

方法：（1）過(guò)直線作平面和已知平面垂直，該平面的法向量為直線的方向向量和已知平面法向量的外積

（2）聯(lián)立兩個(gè)平面方程所得直線為該直線在平面上的投影 例7（1）求直線??2x?4y?z?0在平面4x?y?z?1?0上的投影直線的方程

?3x?y?2z?9?0?4y?7z?5?4x?5z?3?0，在xoz面上的投影為?，求

x?0y?0??（2）直線在yoz面上的投影為?直線在xoy面上的投影

?f(x,y,z)?04、曲線?在坐標(biāo)面上的投影柱面及投影

g(x,y,z)?0?方法：（1）消去z得h1(x,y)?0，則?（2）消去x得h2(y,z)?0，則?（3）消去y得h3(x,z)?0，則?222?h1(x,y)?0為曲線在xoy面上的投影

z?0??h2(y,z)?0為曲線在yoz面上的投影

?x?0?h3(x,z)?0為曲線在xoz面上的投影

y?0?例（1）求球面x?y?z?9與平面x?z?1的交線在xoy面上的投影柱面及投影

22??2y?z?4x?4z（2）把曲線?2的方程用母線平行于x軸和z軸的兩個(gè)投影柱面方程表2??y?3z?8x?12z示

解：消去x得母線平行于x軸的投影柱面方程y?z?4z；消去z得母線平行于z軸的

22??y?z?4z投影柱面方程y?4x?0，因此曲線可表示為?2

??y?4x?0222五、求平面方程

?A1x?B1y?C1z?D1?01、過(guò)直線?的平面方程可設(shè)為

Ax?By?Cz?D?0222?2(A1x?B1y?C1z?D1)??(A2x?B2y?C2z?D2)?0

如果直線方程是點(diǎn)向式或參數(shù)式可轉(zhuǎn)化為上述形式處理 例（1）在過(guò)直線??x?y?z?4?0的平面中找出一個(gè)平面，使原點(diǎn)到它的距離最長(zhǎng)。

?x?2y?z?00（2）平面過(guò)OZ軸，且與平面y?z?0的夾角為60，求該平面方程

（兩平面夾角等于兩法向量的夾角或兩法向量的夾角的補(bǔ)角） （3）求過(guò)點(diǎn)M(1,0,?1)和直線

x?2y?1z?1的平面方程 ??201（4）過(guò)直線??x?2z?4?0?x?y?4?0作平面，使它平行于直線?

?3y?z?8?0?y?z?6?0222 (5)過(guò)平面2x?y?0和4x?2y?3z?6的交線作切于球面x?y?z?4的平面 （6）求由平面2x?z?12?0,x?3y?17?0所構(gòu)成的兩面角的平分面方程 2、利用點(diǎn)法式求平面方程

注意：（1）任何垂直于平面的向量n均可作為平面的法向量

（2）和平面Ax?By?Cz?D?0平行的平面可設(shè)為Ax?By?Cz?D1?0

（3）如存在兩個(gè)向量a?(a1,a2,a3)、b?(b1,b2,b3)和平面平行（或在平面內(nèi)），則平

???i面的法向量為n?a?b?a1b1????ja2b2?ka3 b3?例（1）已知兩直線為方程

x?1y?1z?1x?3y?1z?2????，，求過(guò)兩直線的平面11?11?12（2）求過(guò)A(8,?3,1)和B(4,7,2)兩點(diǎn)，且垂直于平面3x?5y?z?21?0的平面

（3）一平面垂直于向量(2,1,2)且與坐標(biāo)面圍成的四面體體積為9，求平面方程

222（4）已知球面x?y?z?2x?4y?6z?0與一通過(guò)球心且與直線?平面相交，求它們的交線在xoy面上的投影 3、軌跡法求方程

?x?0垂直的

?y?z?0方法：（1）設(shè)平面上任一一點(diǎn)M(x,y,z)（2）列出含有x,y,z的方程化簡(jiǎn)的平面方程 例求由平面x?y?3z?1?0和x?y?3z?2?0所構(gòu)成的二面角的平分面的方程 六、求直線方程

1、把直線的一般方程化為點(diǎn)向式方程

?A1x?B1y?C1z?D1?0方法：已知直線方程為?，則該直線的方向向量為

Ax?By?Cz?D?0222?2iv?A1A2??jB1B2?kC1?(v1,v2,v3) C2x?x0y?y0z?z0?? v1v2v3?在直線上任取一點(diǎn)(x0,y0,z0)，則直線方程為

例化直線的一般方程??2x?y?z?5?0為標(biāo)準(zhǔn)方程

2x?y?3z?1?0?2、根據(jù)直線的方向向量求直線方程

例（1）過(guò)點(diǎn)M(0,1,2)，且平行于兩相交平面x?y?3z?1?0和x?y?3z?2?0的直線方程

?x?2z?1?0（2求過(guò)點(diǎn)M(2,4,0)，且與直線?平行的直線方程

y?3z?2?0?（3）求過(guò)點(diǎn)M(1,0,?2)，且與平面3x?4y?z?6?0平行，又與直線垂直的直線方程

注意：一直線和兩直線垂直；一直線和兩平面平行；一直線和一平面平行，和另一直線垂

x?3y?2z??141直均可確定直線的方向向量

3、利用直線和直線的位置關(guān)系求直線方程 注意：（1）兩直線平行，則向向量 （2）兩直線

m1m2m3??，其中(m1,m2,m3)和(n1,n2,n3)為直線的方n1n2n3x?x0y?y0z?z0x?x1y?y1z?z1????和相交，則 m1m2m3n1n2n3x1?x0??m1n1y1?y0m2n2z1?z0m3n3?0且

m1m2m3?? n1n2n3x?x0y?y0z?z0x?x1y?y1z?z1????（3）兩直線和異面，其中公垂線的m1m2m3n1n2n3i方向向量為v?m1n1??jm2n2?k|?|則兩異面直線的距離為d??；公垂線方m3?(v1,v2,v3)，

|v|n3??x?x0??m1??v1程為??x?x1?n?1??v1y?y0m2v2y?y1n2v2z?z0m3?0v3z?z1n3?0v3

例（1）求通過(guò)點(diǎn)M(1,1,1)且與兩直線方程

xyzx?1y?2z?3都相交的直線??和??123214解：設(shè)所求直線的方向向量為(a,b,c)，已知兩直線的方向向量為(1,2,3)、(2,1,4)，且分別過(guò)點(diǎn)(0,0,0)、(1,2,3)

111則10?1?21b4?0，即a?2b?c?0 ca23?0，即a?2b?c?0；2abc故a?0,c?2b，故(a,b,c)?(0,1,2) 所求直線為

x?1y?1z?1?? 012（2）已知兩異面直線程

（3）求與直線

xyz?1x?1y?1z?1和，求它們的距離與公垂線方????1?10110x?2y?1z?3平行且與下列兩直線相交的直線 ??871?z?5x?6?z?2x?4和? ?z?4x?3z?3y?5??（4）求過(guò)點(diǎn)P(1,?2,3)與z軸相交，且與已知直線

xy?3z?2垂直的直線方程 ??43?2習(xí)題

?(x?1)2?(y?3)2?(z?2)2?251、已知柱面的準(zhǔn)線為?且（1）母線平行于x軸（2）

?x?y?z?2?0母線平行于直線x?y,z?c，求柱面方程

?x?y2?z22、已知柱面的準(zhǔn)線為?母線垂直于準(zhǔn)線所在的方程，求柱面方程

?x?2z3、求過(guò)三條平行線x?y?z,x?1?y?z?1,x?1?y?1?z?2的圓柱面方程 4、求頂點(diǎn)為原點(diǎn)，準(zhǔn)線為x?2z?1?0,y?z?1?0的錐面方程 5、頂點(diǎn)為(3,?1,?2)，準(zhǔn)線為x?y?z?1,x?y?z?0，求錐面方程

6、頂點(diǎn)為(1,2,4)，軸垂直于平面2x?2y?z?0，且過(guò)點(diǎn)(3,2,1)，求該圓錐面的方程 7、求下列旋轉(zhuǎn)曲面方程

2222x?1y?1z?1xyz?1繞直線?旋轉(zhuǎn) ???1?121?12xyz?1xyz?1（2）直線??繞直線?旋轉(zhuǎn) ?21?11?12x?1yz（3）直線??繞直線z旋轉(zhuǎn)

1?33（1）直線

2??z?x（4）曲線?2繞直線z旋轉(zhuǎn) 2??x?y?18例求曲面和三個(gè)坐標(biāo)面的交線

（1）x?4y?16z? （2）x?9y?10z （3）x?4y?16z?0

22222222?x?y?4z?12?09（1）求點(diǎn)P(2,0,?1)關(guān)于直線?的對(duì)稱點(diǎn)

2x?y?2z?3?0?（2）求點(diǎn)A(2,3,?1)到直線?10求直線

?2x?2y?z?3?0的距離，

?3x?2y?2z?17?0x?1yz?1在平面x?y?2z?1?0上的投影直線的方程 ??11?111求曲線在三個(gè)坐標(biāo)面的投影柱面和投影

?x2?y2?z?0 ??z?x?1?x2?z2?3yz?2x?3z?3?0 ??y?z?1?0222??z?x?y ?2??z?2y?x?2y?6z?5 ?3x?2y?10z?7?12（1）過(guò)直線??x?2y?z?6?0作平面，使它垂直于平面x?2y?z?0

?x?2y?z?0x?4y?3z??的平面方程 021（2）求過(guò)點(diǎn)M(3,1,?2)和直線

（3）求過(guò)兩平面3x?y?2z?2?0、x?y?4z?3?0交線且與平面x?y?2z?1?0垂直的平面

（4）求過(guò)點(diǎn)M(2,0,?1)和直線

x?1yz?2的平面方程 ??2?13（5）過(guò)直線

?2x?y?z?3?0x?2y?3z?1且與直線?垂直 ??1?5?1?x?2y?z?5?0（6）過(guò)直線

x?1y?2z?2且與平面3x?2y?z?5?0垂直的平面 ??2?32x?1z?3(7)在過(guò)直線的所有平面中找出一個(gè)平面，使它與原點(diǎn)的距離最遠(yuǎn) ?y?1?0?122213（1）求平行于平面x?2y?3z?4?0且與球面x?y?z?9相切的平面方程

?3x?y?z?1?0?2x?5y?8z?5?0（2）求過(guò)兩直線?、?的平面方程

x?z?3?0x?2y?5z?2?0??（3）求和平面x?2y?4z?2平行，且距離為3的平面 （4）求和兩直線

x?1y?3zx?5y?1z?2??，??平行且與兩直線等距離的平1?11237面方程

（5）求過(guò)點(diǎn)M(0,1,2)，且垂直于平面x?2y?z?1?0與x?z?3?0的平面方程 14（1）求由平面x?2y?2z?3?0和3x?4y?1?0所構(gòu)成的二面角的平分面的方程 （2）動(dòng)點(diǎn)與點(diǎn)(1,0,0)的距離等于這點(diǎn)到平面x?4的距離的一半，求動(dòng)點(diǎn)軌跡。

15化直線的一般方程??x?2y?3z?4?0為標(biāo)準(zhǔn)方程

?x?2y?z?000016（1）過(guò)點(diǎn)M(1,?5,3)且與x,y,z三軸成60,45,120的直線

x?1yz?1xy?1z?1和?垂直的直線 ???11?11?10（3）過(guò)點(diǎn)M(2,?3,?5)且與平面6x?3y?5z?2?0垂直的直線

（2）過(guò)點(diǎn)M(1,0,?2)且與兩直線

17（1）在平面x?y?z?1?0內(nèi)求垂直相交于直線??y?z?1?0的直線方程

?x?2z?0x?1y?3z??相交4?21（2）求過(guò)點(diǎn)P(1,0,?2)而與平面3x?y?2z?1?0平行且與直線的直線方程

（3）求通過(guò)點(diǎn)M(4,0,?1)且與兩直線?方程

?x?y?z?1?x?y?z?3和?都相交的直線

?2x?y?z?2?2x?4y?z?4x?5yz?25垂直相交的直線方程 ??32?2x?3yz?1x?1y?2z（5）求兩異面直線和????的公垂線方程

210101x?1yzxyz?2（6）求直線之間的距離 ??與??0112?10x?2y?1z?3（7）求與直線平行且與下列兩直線相交的直線 ??871（4）求過(guò)點(diǎn)P(2,1,0)而與直線

?x?2t?3?x?5t?10??y?3t?5和??y?4t?7 ?z?t?z?t??