2009年8月

哈　爾　濱　工　業(yè)　大　學(xué)　學(xué)　報(bào)

JOURNALOFHARBININSTITUTEOFTECHNOLOGY

Vol141No18Aug.2009

動(dòng)態(tài)VaR估計(jì)模型及實(shí)證

馬玉林,趙　靜

1

2

(1.山東財(cái)政學(xué)院統(tǒng)計(jì)與數(shù)理學(xué)院,濟(jì)南250014,mayulin1126@126.com;

2.山東財(cái)政學(xué)院統(tǒng)計(jì)與數(shù)理學(xué)院濟(jì)南250014)

摘　要:為了準(zhǔn)確描述金融收益率序列的波動(dòng)率聚集,異方差、厚尾等特性,研究我國(guó)證券市場(chǎng)的時(shí)變風(fēng)險(xiǎn),本文利用極值理論和GARCH模型在處理金融數(shù)據(jù)上的優(yōu)點(diǎn),構(gòu)造了基于GARCH-EVT的條件VaR模型,并對(duì)滬市綜合指數(shù)收益率進(jìn)行實(shí)證研究,結(jié)果表明,上海股市存在ARCH效應(yīng),收益率序列具有較強(qiáng)的自相關(guān)性;以GARCH模型為基礎(chǔ)的條件極值方法比GARCH-正態(tài)和GARCH-t模型更好地消除了厚尾性對(duì)估計(jì)結(jié)果的影響,能更準(zhǔn)確地捕捉風(fēng)險(xiǎn)的時(shí)變特性.

關(guān)鍵詞:廣義自回歸條件異方差模型;極值理論;風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值;返回檢驗(yàn)中圖分類(lèi)號(hào):F830191文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A文章編號(hào):0367-6234(2009)08-0183-03

ModelofdynamicVaRestimationandempiricalstudy

MAYu2lin,ZHAOJing

1

2

(1.SchoolofStatisticandMathematics,ShandongUniversityofFinance,Jinan250014,China,mayulin1126@126.com;

2.SchoolofStatisticandmathematics,ShandongUniversityofFinance,Jinan250014)

Abstract:Aimedatdescribingsomecharacteristicsoffinancialreturnsequencesuchasvolatilityclusterandconditionalheteroscedasticity,weproposeamethodforestimatingVaRandrelatedriskmeasuresdescribingthetailoftheconditionaldistributionofaheteroscedasticfinancialreturnseries.GARCHmodelstoestimatethecurrentvolatilityandtheextremevaluetheory(EVT)forestimatingthetailoftheinnovationdistributionoftheGARCHmodelarecombined.TheproposedmethodwasusedtoestimateVaRandconditionalexpectedshort2falls.ThebacktestingofShanghaistockmarketshowsthatthereisseriousARCHeffectonreturnrateofthestockmarketandGARCH-EVTmodelgivesbetterestimatesthanGARCH-NormalandGARCH-tmodels.

Keywords:GARCHmodel;extremevaluetheory;valueatrisk(VaR);backtesting

　　VaR(valueatrisk)稱(chēng)為風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值或在險(xiǎn)值,指的是:“在正常的市場(chǎng)環(huán)境下,在一定的持有期

[1]

內(nèi)和一定的置信水平下可能的最大損失”.為了對(duì)金融數(shù)據(jù)做出有效的描述,Engle于1982提

[2]

出了自回歸條件異方差———ARCH模型,模擬出數(shù)據(jù)的聚集性特征,Bollerslev在1986年提出了廣義自回歸條件異方差———GARCH模型,將高階的ARCH模型轉(zhuǎn)化成為簡(jiǎn)潔的GARCH模型,描繪出金融數(shù)據(jù)方差項(xiàng)的某種自相關(guān)性.

VaR估計(jì)的條件方差方法是一種動(dòng)態(tài)VaR

[3,4]

的計(jì)算方法,它利用GARCH類(lèi)模型中的條件方差來(lái)度量股票市場(chǎng)VaR.GARCH模型的殘差序

收稿日期:2006-01-10.

作者簡(jiǎn)介:馬玉林(1971—),男,博士,副教授.

列為一同分布的白噪聲過(guò)程,最常見(jiàn)的是假定為正態(tài)分布,但實(shí)際上正態(tài)GARCH模型不能充分描述數(shù)據(jù)的厚尾性,為此,常假定殘差服從分

[5,6]

布、混合正態(tài)分布或一般誤差分布,而極值理論(EVT)因在序列尾部估計(jì)上的優(yōu)勢(shì)逐漸成為一種主流方法,尤其是廣義帕累托分布能較好的反

[7～9]

映樣本序列的厚尾特性.本文構(gòu)造了GARCH-EVT模型對(duì)投資組合的動(dòng)態(tài)VaR進(jìn)行估計(jì),充分發(fā)揮GARCH模型處理金融數(shù)據(jù)的優(yōu)越性和極值分布模擬尾部數(shù)據(jù)的精確性.利用滬市綜合指數(shù)做實(shí)證研究,并與GARCH-Normal、GARCH-模型進(jìn)行返回檢驗(yàn)比較,結(jié)果發(fā)現(xiàn)在GARCH模型基礎(chǔ)上的條件極值方法能在相當(dāng)程度上消除厚尾性對(duì)估計(jì)結(jié)果的影響,能更準(zhǔn)確的捕捉風(fēng)險(xiǎn)的

?184?哈　爾　濱　工　業(yè)　大　學(xué)　學(xué)　報(bào)　　　　　　　　　　　　　第41卷　

時(shí)變特性,使模型的準(zhǔn)確性更加穩(wěn)健.

1　模型介紹

111　GARCH模型

若Xt為一表示股票價(jià)格的負(fù)對(duì)數(shù)收益嚴(yán)格

平穩(wěn)時(shí)間序列,是嚴(yán)格平衡的,且服從GARCH(p,q)過(guò)程,表達(dá)式為

(1)Xt=μt+σtZt.

q

p

計(jì)算上的最大優(yōu)勢(shì).因此可選取極值分布作為

GARCH類(lèi)模型中的擾動(dòng)過(guò)程,引入條件極值來(lái)度量時(shí)變風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值.具體步驟:

1)應(yīng)用GARCH過(guò)程模擬原始收益數(shù)據(jù),估計(jì)條件均值μt和條件標(biāo)準(zhǔn)差σt并計(jì)算相應(yīng)的模型殘差序列zt=(xt-μt)/σt.

2)對(duì)殘差時(shí)間序列進(jìn)行檢驗(yàn),如果它是嚴(yán)格

的白噪聲過(guò)程,就應(yīng)用極值方法對(duì)其分布FZ(z)的尾部進(jìn)行模擬,求解動(dòng)態(tài)的VaR和ES,該過(guò)程所討論的序列是zt而不是Xt.113　參數(shù)估計(jì)

σt=α0+

2

αi(Xi-1-μ+i-1)∑

2

i=1

2

βσjt-j.(2)∑j=1

(2)分別表示均值調(diào)整方程和方差波動(dòng)方式(1)、

程,其中p≥0,q≥0,α0>0,αi≥0,βj≥0,Zt是均值為1,方差為0的白噪聲過(guò)程,分布函數(shù)記為

FZ(z).

為了估計(jì)模型中的參數(shù),取n個(gè)歷史對(duì)數(shù)損失率Xt-n+1,…,Xt-1,Xt,把它們看作是服從AR(1)-GARCH(1,1)過(guò)程,因此調(diào)整的均值序列εt=

Xt-μt的條件方差為:

2

σ2σ2=αt0+α1εt-1+βt-1.

其中:α.0,α1,β>0,β+α1<1

112　條件VaR估計(jì)令Xt=-log(Pt/Pt-1)表示投資組合t天的

負(fù)對(duì)數(shù)收益率或?qū)?shù)損失率,其中Pt表示組合在當(dāng)天的收盤(pán)價(jià).在計(jì)算這種風(fēng)險(xiǎn)的日VaR時(shí),應(yīng)該考慮到市場(chǎng)的波動(dòng)性,金融時(shí)間序列都有一些共性,都有尖峰、厚尾、異方差等特殊性質(zhì),雖然市場(chǎng)收益的相關(guān)性不高,但是序列的絕對(duì)值或平方收益的相關(guān)性卻很高,僅僅假設(shè)同分布是不夠的,構(gòu)造更復(fù)雜的模型就非常有必要,常用的形式就是:Xt=μt+σtZt.

設(shè)FX(x)為Xt的邊際分布,FXt+1|Gt(x)是以前t天的歷史收益Gt(x)為條件所預(yù)測(cè)第二天的收益分布,主要預(yù)測(cè)第二天的條件風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值和期望損

tt

失(ES),分別用VaRq和ESq表示.公式記為:

VaRq=xq=inf{x∈R:FXt+1|Gt(x)≥q}.

ESq=E[Xt+1|Xt+1>VaRq,Gt].

t

t

t

t

(5)

采用最大似然法,利用歷史收益數(shù)據(jù)把帶有正態(tài)擾動(dòng)項(xiàng)的GARCH(1,1)模型最大化以獲得α^的參數(shù)估計(jì);由遞推公式(1)、(5)計(jì)算0,α1,β

相應(yīng)的條件均值以及標(biāo)準(zhǔn)差序列估計(jì)(μ^t-n+1,…,μ^t)和(σ^t-n+1,…,σ^t);計(jì)算出殘差項(xiàng),即,

(zt-n+1,…,zt)=xt-n+1-μxt-μt-n+1t.,…,

σσ^t-n+1^t

^

^

(6)

　　如果上述模型檢驗(yàn)合適的話(huà),根據(jù)上述參數(shù)就可以預(yù)測(cè)t+1時(shí)刻的條件均值和方差,即一步預(yù)

測(cè).由于樣本數(shù)量不大,因此采用極值理論中的POT模型對(duì)序列(zt-n+1,…,zt)來(lái)估計(jì)VaR,固定一個(gè)高的門(mén)限值u并假設(shè)超過(guò)這個(gè)門(mén)限的超額殘差服從廣義帕累托(GPD)分布.FZ(z)的尾部估計(jì)分布為:F〗=1-Z(z)

t

q

因?yàn)閆t為同分布,所以,FXt+1|Gt(x)=P{σt+1Zt+1+μt+1≤x|Gt}=

σt+1),FZ((x-μt+1)/于是條件VaR和條件ES為

t

VaRq=μt+1+σt+1zq.

ESq=μt+1+σt+1E[z|Z>zq]=

t

^

k1+ξz-uk^

nβ

k

tq

^

^ξk-1/

,因此

(3)(4)求得.VaR和條件期望損失ES分別由式(3)、

μt+1+σt+1ES(Z)q.(4)

其中:zq即VaR(z)q,是假定的Zt邊際分布的上q分位數(shù),它不依賴(lài)于t.而VaRq事實(shí)上是相對(duì)于序列{Zt}而言的VaR.

為了執(zhí)行上述估計(jì)過(guò)程,本文中選擇GARCH(1,1)過(guò)程為(1)中特定的隨機(jī)過(guò)程.由于極值理論只考慮分布的尾部,分布的尾反映的是潛在的災(zāi)難性事件導(dǎo)致的金融機(jī)構(gòu)的重大損失,而且極值收益的極限分布于收益的初始分布,因此不必要假設(shè)收益的初始分布,這正是極值理論應(yīng)用于VaR

t

2　實(shí)證研究

選取1996年12月26日～2004年4月12日的上海綜合指數(shù)數(shù)據(jù)(數(shù)據(jù)來(lái)源:大智慧網(wǎng)站)進(jìn)行實(shí)證研究,樣本容量為1750個(gè),分別運(yùn)用GARCH-Normal、Garch-t、GARCH-EVT模型

計(jì)算出相應(yīng)的VaR、ES的估計(jì)值,并對(duì)三種方法的估計(jì)結(jié)果進(jìn)行返回檢驗(yàn).以下模型中的參數(shù)估計(jì)和數(shù)據(jù)分析均通過(guò)Matlab615統(tǒng)計(jì)軟件實(shí)現(xiàn).211　數(shù)據(jù)描述與分析

首先對(duì)全部的收益率序列進(jìn)行相關(guān)性、異方

第8期馬玉林,等:動(dòng)態(tài)VaR估計(jì)模型及實(shí)證?185?

差性等的檢驗(yàn),若具有上述特性,則利用GARCH(1,1)模型求得殘差序列,再對(duì)殘差序列{zt}進(jìn)行上述檢驗(yàn).經(jīng)檢驗(yàn)無(wú)論是原始收益率還是其平方序列都具有明顯的自相關(guān)性.Engle’sARCH檢驗(yàn)表明ARCH效應(yīng)也較顯著.運(yùn)用GARCH模型來(lái)模擬數(shù)據(jù),經(jīng)檢驗(yàn)其殘差序列和殘差平方序列都不具有序列相關(guān)性,因此把極值理論用到殘差序列{zt}中估計(jì)VaR和ES是合適的.212　返回檢驗(yàn)與結(jié)果比較

使用不同的風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值模型所得的VaR估計(jì)值會(huì)有相當(dāng)顯著的差別,為此需要對(duì)VaR估計(jì)實(shí)施返回檢驗(yàn),把所估計(jì)的VaR值與實(shí)際損失對(duì)比,如果實(shí)際損失超出了VaR,就認(rèn)為估計(jì)失敗.利用歷史損失序列r1,…,rm返回檢驗(yàn)上述方法,其中mμn,計(jì)算時(shí)間窗為n天的VaRq　t∈T={n,…,m-1},本文中m=1750,取n=1000,每次利用前1000個(gè)歷史數(shù)據(jù)滾動(dòng)模擬、預(yù)測(cè).因?yàn)檎龖B(tài)分布、t分布的分位數(shù)可以直接計(jì)算,因此只需要把預(yù)測(cè)的μt+1,σt+1代入(3)、(4)即可求得相應(yīng)的VaRq和ESq序列,而對(duì)于極值理論的尾部,考慮來(lái)自擾動(dòng)分布尾部最大的100個(gè)殘差.在每一天t∈T,模擬一個(gè)新的AR(1)-GARCH(1,1)模型,確定一個(gè)新的GPD尾部估計(jì),代入(3)、

tt

(4)求得相應(yīng)的VaRq和ESq序列.把上述方法所計(jì)算的VaR序列與后來(lái)的750個(gè)實(shí)際損失數(shù)據(jù)比較,計(jì)算失敗的次數(shù).　　表一列出了實(shí)際損失高于三種方法估計(jì)的95%、99%、9915%VaR的數(shù)目,從中可以看出,雖

[12]

然所有結(jié)果都在Kupiec置信區(qū)間之內(nèi),但正態(tài)分布估計(jì)的VaR明顯偏低,估計(jì)失敗次數(shù)大大高于極值分布的估計(jì),基本上都接近區(qū)間上限,而由t分布和極值分布估計(jì)的VaR效果要明顯好于正態(tài)分布,估計(jì)失敗頻率更接近于我們所假設(shè)的置信度,因此利用GARCH-EVT模型度量我國(guó)證券市場(chǎng)的VaR是可行的,預(yù)測(cè)精度也比較準(zhǔn)確,能很好地控制風(fēng)險(xiǎn).

表1　實(shí)際損失超出VaR的數(shù)目比較

VaR(0195)

GARCH-NormalGARCH-tGARCH-EVTKupiec接受域

415135(25,51)

VaR(0199)

12(2,16)

VaR(01995)

822(1,10)

t

t

t

量涌入,而當(dāng)股市下跌的時(shí)候撤出.因此可以用

GARCH模型來(lái)擬合收益率,計(jì)算VaR值,這樣VaR估計(jì)中就包含了信息效應(yīng).

2)動(dòng)態(tài)VaR估計(jì)明顯比基于最大似然估計(jì)的靜態(tài)VaR估計(jì)的效果要好,不僅描述了風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值時(shí)變的特性,而且能夠提供更好的預(yù)測(cè)精度.

3)基于不同的分布假設(shè)所計(jì)算的VaR值有所不同.在正態(tài)分布下,失敗個(gè)數(shù)高于分布和極值分布的失敗個(gè)數(shù).這說(shuō)明,正態(tài)分布無(wú)法刻畫(huà)出金融數(shù)據(jù)分布特征,往往造成低估.極值法利用極值分布(主要是帕累托分布族)來(lái)近似序列分布,在估計(jì)極端情境時(shí)效果較理想.另外,GARCH模型對(duì)于股市中所存在的杠桿效應(yīng)無(wú)法刻畫(huà),股市收益率的波動(dòng)隨信息的變化經(jīng)常出現(xiàn)非對(duì)稱(chēng)性的特點(diǎn),利空消息引起的波動(dòng)一般更大,為了刻畫(huà)波動(dòng)的非對(duì)稱(chēng)性,可嘗試?yán)梅菍?duì)稱(chēng)的GARCH模型———APACH模型或EGARCH、TGARCH等模型來(lái)模擬樣本數(shù)據(jù).

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3　結(jié)　論

1)上海股市存在ARCH效應(yīng).收益率序列具

有較強(qiáng)的自相關(guān)性,這證明了中國(guó)股市存在波動(dòng)率聚集性這一結(jié)論,即投資者股市上漲的時(shí)候大

(編輯　姚向紅)