?３４　數(shù)學(xué)教學(xué)研究　第３０卷第１２期２０１１年１２月　平面向量解題的兩大策略　洪麗敏?。ǜ＝ㄊ∧习驳谝恢袑W(xué)３６２３００）　平面向量集數(shù)與形為一體，一方面，由于　數(shù)量的各種運(yùn)算都有其明顯的幾何意義，因　此充分利用幾何意義結(jié)合圖形是平面向量解　題的策略之一；另一方面，由于直角坐標(biāo)系的　引入，平面向量的運(yùn)算可以通過坐標(biāo)運(yùn)算得　以實(shí)現(xiàn)，因此根據(jù)條件建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，把　問題轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)運(yùn)算又是平面向量解決的又　一策略．下面，本文談?wù)勂矫嫦蛄拷忸}過程中　這兩大策略的合理選擇與運(yùn)用．　策略一：巧用圖形、注重幾何意義　向量是數(shù)形結(jié)合的良好載體，向量的有　向線段表示法是用平面幾何知識解決向量問　題的基礎(chǔ)，為靈活運(yùn)用幾何知識及圖形性質(zhì)　解決向量問題提供了保證．　例１（２０１０年福　州二模）如圖ｌ，點(diǎn)Ｐ　在已知△ＡＢＣ的內(nèi)　部，定義有序?qū)崝?shù)對?。ā?，ｖ，?。辄c(diǎn)Ｐ關(guān)于　圖１　△ＡＢＣ的面積坐標(biāo)，　其　，ｖ一　，　一?。酎c(diǎn)Ｑ　滿足嗣一號蔚＋÷贏，則點(diǎn)Ｑ關(guān)于△ＡＢｃ　的面積坐標(biāo)為　解析　如圖２，過　點(diǎn)Ｑ作ＢＣ的平行線　交ＡＢ于Ｍ，過點(diǎn)Ｑ作?。粒碌钠叫芯€交ＢＣ于?。?，則　圖２　茄一砌＋威，　贏＝告窬，蔭一專贏，?。印鳌。悖琛∫弧唬砂佟。保薄　弧∫唬橐弧∫弧?。　同理?。印鳎埃痢。颍拢妫臁∫灰弧弧∫畸愐弧??！∷浴∫弧∫弧∫粚Ｒ话伲币话伲?，　即點(diǎn)Ｑ關(guān)于ＡＡＢＣ的面積坐標(biāo)為?。▉G，告，÷）．．一　點(diǎn)評本解法緊扣圖形，先逆用向量加　法的平行四邊形法則（本質(zhì)向量的分解），得　到關(guān)系式麗一÷　，商一專百　，再結(jié)合同　底三角形的面積比即為高的比進(jìn)行求解，不　失為一種簡便的方法．事實(shí)上，這種解題方法　可把問題進(jìn)行推廣：　如圖３，設(shè)點(diǎn)Ｐ是?。粒粒拢盟谄矫鎯?nèi)的　一點(diǎn)，若　一?。。ā?，?。荆铮?，貝Ｕ有　圖３?。印鳎校粒拢海印鳎粒拢茫健。?，?。樱簦校蓿悖海印鳎粒拢恪。海保±玻ǎ玻埃保蹦甏缶V全國理１２）設(shè)向量　１?。?，ｂ，ｃ滿足Ｊ口Ｊ＝Ｊ?。狻。室唬?，口?ｂ一一寺，（ｎ一　厶　ｃ，６～ｃ＞＝６０。，則Ｉ?。悖傻淖畲笾档扔冢ā。。ǎ粒病。ǎ拢蹋场。ǎ茫蹋病。ǎ模薄〗馕鋈鐖D４，設(shè)　一口，　一　，　一　第３Ｏ卷第１２期２０１１年１２月　數(shù)學(xué)教學(xué)研究　３５?。悖瑒t　一口一ｃ，蔬一６一ｃ．　因?yàn)椋桑睿伞伞。猓臁?，所以?。臁。希痢。桑剑剑剑臁。埃欤隆。梢唬保±常ǎ玻埃保蹦旮呖继旖蚶恚保矗┮阎薄〗翘菪危粒拢茫闹?，ＡＤ／／ＢＣ，?。粒模茫剑梗?。，?。粒模剑?，ＢＣ一１，Ｐ是腰ＤＣ上的?dòng)點(diǎn)，則?。薄∮挚?６：一妻，所以　ＡＯＢ＝１２０。．　厶　又＜ｎ—ｃ，ｂ—ｃ＞＝６０。，所以?。粒拢茫骸。叮稀?，且６Ｏ。＋１２０。一１８０。，所以Ｏ，Ａ，Ｃ，Ｂ四　點(diǎn)共圓．故當(dāng)ＯＣ為圓的直徑時(shí)，Ｉ?。恪旱闹底睢〈螅藭r(shí)?。粒铮靡唬拢希靡唬叮啊?，　／ＯＡＣ＝／ｏＢＣ一９Ｏ。，?。薄。希茫梢唬病。薄。希粒保剑剑海玻。?　，　、　　●、　‘?。拧。痢?、?。埽谩　D４　圖５　點(diǎn)評　本題若直接從向量的運(yùn)算入手?。ㄈ纾玻悖剑谝唬悖┮唬ǎ兑唬悖瑒t計(jì)算繁瑣，不易　求解，難度大；而本解法緊扣模、數(shù)量積、向量　減法、向量夾角的幾何意義，利用圖形研究各　向量之間的關(guān)系，從而使問題得以解決．事實(shí)　上，從上面的解題我們可發(fā)現(xiàn)ｌ　ｃ?。傻淖钚≈禐椤。?，如圖５（過程略）．　總之，由于向量可用有向線段表示，因此　作圖是向量的運(yùn)算特點(diǎn)之一，通過作圖可以　完成向量的運(yùn)算．因此注重平面向量運(yùn)算的　幾何意義，充分利用向量的圖形語言，把向量　運(yùn)算歸結(jié)為平面幾何問題，是向量運(yùn)算的優(yōu)　勢之一，是平面向量解題的重要策略．　策略二：合理建系、回歸坐標(biāo)運(yùn)算　向量的坐標(biāo)語言很好地溝通了向量與實(shí)　數(shù)之間的聯(lián)系，特別是向量的線性運(yùn)算及數(shù)量　積的運(yùn)算律基本上秉承了實(shí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，這　使我們能夠較方便地理解、運(yùn)用向量運(yùn)算．　?。欤成蹋斓淖钚≈禐椤。〗夥ǎ痹O(shè)　一ｚＤ－－ｄ－（ｏ＜ｚ＜１），則　一（１一ｚ）院，　一　一　一　一ｚ　，　商一?。咭唬ǎ保兀。?，?。成桃粫摇。ǎ常矗。　。桑成蹋伞。∫惠场。病痢。怠粒ǎ场矗模椋??。ǎ场矗??！。病　玻担ǎ场础。　荩玻担〖矗桑校冢称希斓淖钚≈禐椋担〗夥ǎ病∪鐖D６，以?。臑樽鴺?biāo)原點(diǎn)，分別以?。模?，ＤＣ所在直線為Ｘ，?。佥S建立直角坐標(biāo)系，設(shè)?。模茫剑?，ＤＰ＝ｚ（０≤　≤　“），則Ｄ（Ｏ，ｏ），Ａ（２，０），　圖６?。拢ǎ保睿?，Ｃ（０，口），Ｐ（Ｏ，　），　一（２，一ｚ），　商一（１，ｎ—ｚ），所以?。成桃唬ǎ?，３ｎ一４ｘ），?。伞。校成蹋煲弧。啤⊙小荩担〖矗臁。成蹋傻淖钚≈禐椋担↑c(diǎn)評解法１從向量加減、數(shù)乘運(yùn)算、向　量的模人手，對考生能力要求較高，而解法２　則通過建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，把向量巧妙　轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)運(yùn)算問題，大大降低解題的難度，　更是一種理想的解題策略．事實(shí)上，這種策略　常會(huì)取得獨(dú)特的效果，比如：　（２００６年高考福建理１１）已知ｌ?。梢唬?，?。苫辏桑健?，０－ｏ２?　一ｏ，點(diǎn)Ｃ?。蹋粒希聝?nèi)，　．ＫＬＡＯＣ＝３ｏ。，設(shè)　一?。。ǎ?，ｎ　３６　數(shù)學(xué)教學(xué)研究　第３０卷第１２期２０１１年１２月　∈Ｒ），則絲等于（　）．?。ǎ粒┌伲伞。ǎ拢场。ǎ悖┢。ǎ模〗馕黾僭O(shè)點(diǎn)Ｃ在線　段ＡＢ上，以。為坐標(biāo)原　點(diǎn)，分別以ＯＡ，ＯＢ所在　直線為ｚ，Ｙ軸建立直角坐　標(biāo)系，如圖７，則Ａ（１，０），　Ｂ（ｏ，　），求得ｃ（丟，?。∫?yàn)椤∫弧。D　商（ｍ，，ｚ６Ｒ），所以　一丟，?。絹G，?。剑常∵xＢ．　值得注意的是，這種方法若與特例法相　結(jié)合，更有意想不到的好效果，比如上述例１　別解：　可把ＡＡＢＣ特殊取為　直角三角形，并把它放在直　角坐標(biāo)系中，即以Ｂ為坐標(biāo)　原點(diǎn)，分別以ＢＣ，ＢＡ所在　直線為　，Ｙ軸建立直角坐　標(biāo)系（如圖８），則Ｂ（０，０），　設(shè)Ａ（Ｏ，６），Ｃ（ａ，０），易求得　圖８　點(diǎn)Ｑ的坐標(biāo)Ｑ（號，魯），則?。狻。印鳌　唬病薄∫弧∫话僖弧　⊥怼　獭。印鳎埃粒拢常薄　弧抟弧　∫弧　　鳌。粒拢茫睢∷浴。健∫弧∫惶栆惶栆粊G．　即點(diǎn)Ｑ關(guān)于△ＡＢＣ的面積坐標(biāo)為　ｒ?。伞。臁。?、?。埽病丁场≡偃纾海ǎ玻埃埃贰呖冀骼恚保担┤鐖D９，在?。粒粒拢弥?，點(diǎn)。是ＢＣ的中點(diǎn)，過點(diǎn)０的直　線分別交直線ＡＢ，ＡＣ于不同的兩點(diǎn)Ｍ，Ｎ，　若?。健。∫弧?，則ｍ＋，ｚ的值為　二ｌ?。。谩。辍。D９　圖１０　這時(shí)我們就可取特殊情況輕松求解，如　圖１Ｏ，設(shè)Ｂ（一１，Ｏ’），Ｃ（１，０），Ａ（０，Ｉ），取?。停ㄒ唬?，一１），則　直線ＯＭ：?。剑唔梗。≈本€ＡＣ：Ｘ＋　—Ｉ，　求得Ｎ（吾，÷），則　一（一ｉ，一１），　一（一２，－－２），?。粒剑ǎ桑唬撸桑?，Ｘ－￣＝（２３一，一詈），　從而　專，，ｚ一號，ｍ＋　一２?　總之，根據(jù)題設(shè)條件，建立適當(dāng)?shù)闹苯亲?biāo)系（有時(shí)可與特例法相結(jié)合），把向量轉(zhuǎn)化　為坐標(biāo)運(yùn)算問題，會(huì)大大降低解題的難度，是　解決平面向量問題的一種理想的解題策略．　平面向量的字母語言（“數(shù)”）、坐標(biāo)語言?。ā皵?shù)”）、圖形語言（“形”）從不同的角度詮釋了　向量的本質(zhì)．因此，從“數(shù)　‘形”兩個(gè)角度研究　是解決平面向量問題的兩大有效解題策略．?。ㄊ崭迦掌冢海玻埃保梢唬埃埂埃福?