一、 選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有是一個符合題目要求的

1. 數(shù)列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，…的第100項(xiàng)是（ ） A．10 B．12 C．13 D．14

參：

D

【考點(diǎn)】數(shù)列的應(yīng)用．

【分析】由題意可知，此數(shù)列由一個1，兩個2，3個3…組成，欲求第100項(xiàng)，需求自然數(shù)列前n項(xiàng)和不大于100時的最大n值，再列舉出第100項(xiàng)． 【解答】解：因?yàn)?+2+3+…+n=n（n+1）， 由n（n+1）≤100， 得n的最大值為13，

即最后一個13是數(shù)列的第91項(xiàng)， 而14共有14項(xiàng)， 所以，第100項(xiàng)應(yīng)為14． 故選D．

2. 設(shè)i為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)的虛部是（ ）

A．1 B．i C．﹣1 D．﹣i

參：

C

【考點(diǎn)】A5：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算．

【分析】直接利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算化簡，則答案可求．

【解答】解： =，則復(fù)數(shù)的虛部為﹣1．

故選：C．

3. 若雙曲線的頂點(diǎn)為橢圓長軸的端點(diǎn)，且雙曲線的離心率與該橢圓的離心率的積

為1，則雙曲線的方程是

A．

B．

C． D．

參： B 略

4. 直線（，）過點(diǎn)(-1,-1),則的最小值為 ( )

A. 9

B. 1

C. 4

D. 10

參：

A 【分析】

將點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線方程：

，再利用乘1法求最值

【詳解】將點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線方程：

，

，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號

【點(diǎn)睛】已知和為定值，求倒數(shù)和的最小值，利用乘1法求最值。 5. 在△ABC中，若a2=b2+bc+c2，則A=（ ） A．30°

B．60°

C．120°

D．150°

參：

C

【考點(diǎn)】余弦定理．

【分析】本題考查的知識點(diǎn)是余弦定理，觀察到已知條件是“在△ABC中，求A角”，固這應(yīng)該是一個解三角形問題，又注意到a2=b2+bc+c2給出的三角形三邊的關(guān)系，利用余弦定理解題比較恰當(dāng)． 【解答】解：∵a2=b2+bc+c2 ∴﹣bc=b2+c2﹣a2

由余弦定理的推論得：

=

=

又∵A為三角形內(nèi)角 ∴A=120° 故選C

6. 如圖，點(diǎn)O為正方體ABCD-A'B'C'D'的中心，點(diǎn)E為面B'BCC'的中心，點(diǎn)F為B'C'的中點(diǎn)，則空間四邊形D'OEF在該正方體的面上的正投影不可能是（ ）

A. B. C. D.

參：

D

7. 給出下列結(jié)論：

(1) 回歸分析是對具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的一種常用方法；

（2）在回歸分析中，可用指數(shù)系數(shù)的值判斷模型的擬合效果，越大，模型的擬合效果

越好；（其中） （3）在回歸分析中，可用殘差平方和判斷模型的擬合效果，殘差平方和越大，模型的擬合效

果越好；

（4）在回歸分析中，可用殘差圖判斷模型的擬合效果，殘差點(diǎn)比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中，說明這樣的模型比較合適．帶狀區(qū)域的寬度越窄，說明模型的擬合精度越高．

以上結(jié)論中，正確的有（ ）個．

A．1 B．2 C．3 D．4

參： C 略

8. 若三條直線y=2x，x+y=3，mx+ny+5=0相交于同一點(diǎn)，則點(diǎn)（m，n）到原點(diǎn)的距離的最小值為（ ） A．

B．

C．2

D．2

參：

A

【考點(diǎn)】兩點(diǎn)間的距離公式．

【分析】聯(lián)立

，解得交點(diǎn)（1，2），代入mx+ny+5=0可得：m+2n+5=0．再利用兩點(diǎn)之間的距

離公式、二次函數(shù)的性質(zhì)即可得出．

【解答】解：聯(lián)立

，解得x=1，y=2．

把（1，2）代入mx+ny+5=0可得：m+2n+5=0．

∴m=﹣5﹣2n．

∴點(diǎn)（m，n）到原點(diǎn)的距離d==

=

，當(dāng)n=﹣2，m=﹣1時，

取等號．

∴點(diǎn)（m，n）到原點(diǎn)的距離的最小值為

． 故選：A．

9. 已知函數(shù)

有極大值和極小值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 （ ）

A．

B．

C．

或

D．

或

參：

D

10. 若

，且

，則下列不等式一定成立的是（ ）

A． B． C． D．

13. 已知直線，直線平面，則直線與平面的位置關(guān)系是 _______.

參：

D

參：

略

二、 填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分 11. 如圖，正

的中線AF與中位線DE相交于點(diǎn)G，已知

是

繞邊DE旋轉(zhuǎn)

14. 兩條平行直線與間的距離是_________．

形成的一個圖形，且

平面ABC，現(xiàn)給出下列命題：

①恒有直線平面； ②恒有直線平面； ③恒有平面

平面

。

其中正確命題的序號為____________________。 參： ①②③

略

12. 已知點(diǎn)A（-4，-5），B（6，-1），則以線段AB為直徑的圓的方程

參：

參：

略 15. 若函數(shù)

在

上是單調(diào)函數(shù)，則的取值范圍是____________。

參：

16. 函數(shù)g(x)＝ax3＋2(1－a)x2－3ax (a<0) 在區(qū)間（-∞，）內(nèi)單調(diào)遞減，則a的取值范圍

是 ．

參：

(－∞，－1]． 17. 在△ABC中，分別為三個內(nèi)角A , B ,C所對的邊，設(shè)向量

，

若

，則角 A 的大小為

參：

60

三、 解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟

18. （2016秋?湛江期末）在△ABC中，A，B，C的對邊分別為a，b，c，且c?cosA+a?cosC=2b?cosA．（Ⅰ）求cosA； （Ⅱ）若

，b+c=4，求△ABC的面積．

參：

【考點(diǎn)】余弦定理；正弦定理．

【分析】（Ⅰ）利用正弦定理、和差公式與誘導(dǎo)公式即可得出．

（Ⅱ）利用余弦定理與三角形面積計(jì)算公式即可得出．

【解答】解：（Ⅰ）由正弦定理得：c=2rsinC，a=2rsinA，b=2rsinB（其中r為外接圓半徑）．…（1分）

代入c?cosA+a?cosC=2b?cosA得：sinCcosA+sinAcosC=2sinBcosA

即：sin（A+C）=2sinBcosA?sin（π﹣B）=2sinBcosA．…（3分）∴sinB=2sinBcosA，…（4分）∵B∈（0，π）∴sinB≠0．∴．…

（Ⅱ）由余弦定理

，即（b+c）2﹣3bc=7…（7分）

上式代入b+c=4得bc=3．…（8分）∴．

所以△ABC的面積是

．…（10分）

【點(diǎn)評】本題考查了正弦定理余弦定理、和差公式及其誘導(dǎo)公式、三角形面積計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．

19. （12分）圓具有性質(zhì)：設(shè)M、N是圓C：x2

+y2

=r2

關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩個點(diǎn)，P是圓C上任意一點(diǎn)，直

線PM，PN的斜率kPM，kPN存在，則kPM?kPN=﹣1，類比上述性質(zhì)，在橢圓C：+=1中，寫出相類似

的性質(zhì)，并給出證明．

參：

由圓的性質(zhì)可以類比得到橢圓的類似性質(zhì)，即kPM?kPN=﹣，

證明如下：設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m，n），則點(diǎn)N的坐標(biāo)為（﹣m，﹣n），進(jìn)而可知，

又設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），

則kPM=

，kPN=

∴kPM?kPN=

，?

=

，

將y2=b2（1

﹣

），n2=b2

（1﹣

）代入得kPM?kPN=﹣

．

20. 已知拋物線E：的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F的直線l與E交于A，C兩點(diǎn)

（1）分別過A，C兩點(diǎn)作拋物線E的切線，求證：拋物線E在A、C兩點(diǎn)處的切線互相垂直；

（2）過點(diǎn)F作直線l的垂線與拋物線E交于B，D兩點(diǎn)，求四邊形ABCD的面積的最小值.

參：

（1）設(shè)過點(diǎn)

的直線方程為

，

，

由

得，即

.

恒成立，則

-------2分

設(shè)拋物線E在A、C兩點(diǎn)處的切線的斜率分別為，

由得

令得， 同理得

--------4分

則

.

故拋物線E在A、C兩點(diǎn)處的切線互相垂直. ---------------6分

（2）由（1）知

，

同理得

， ------------------8分

=32 -----10分

當(dāng)且僅當(dāng)即時取等號

∴四邊形ABCD的面積的最小值為32. ---------------------12分

21. 設(shè)是一個公差為2的等差數(shù)列，

成等比數(shù)列.

(1) 求數(shù)列的通項(xiàng)公式； (2) 數(shù)列滿足

，設(shè)

的前n項(xiàng)和為，求.

參：

解：（Ⅰ）由a1,a2,a4成等比數(shù)列得：（a1+2）2=a1(a1+6). ----------- 2分

解得a1＝2…4分 數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an=2n(n∈N*) ------------------6分 （Ⅱ）

=n·22n

=n·4n(n∈N*)Sn=1·4+2·42+…+n·4n ①4Sn=1·42+…+（n-1）4n+n4n+1②, ①-②得-3Sn=

-n·4n+1

，即Sn=

-----------12分

22. 已知函數(shù)（

），

（）.

（1）討論

的單調(diào)性；

（2）設(shè)，

，若（）是的兩個零點(diǎn)，且，試問曲線

在點(diǎn)

處的切線能否與軸平行？請說明理由.

參：

（Ⅰ）

(1)當(dāng)

時，

，

在

單調(diào)遞增，

(2)當(dāng)時， 有

(Ⅱ)

假設(shè)

在

處的切線能平行于軸.

∵

由假設(shè)及題意得：

? ?

?

④

由?-?得，

即

由④⑤得，

令，

.則上式可化為，

設(shè)函數(shù)

，則

,

所以函數(shù)在

上單調(diào)遞增.

于是，當(dāng)所以

在

時，有

，即

與⑥矛盾.

處的切線不能平行于軸.