平面向量知識(shí)點(diǎn)和例題(總13

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第二章 平面向量

1.向量：數(shù)學(xué)中，我們把既有大小，又有方向的量叫做向量。 數(shù)量：我們把只有大小沒有方向的量稱為數(shù)量。 2.有向線段：帶有方向的線段叫做有向線段。 有向線段三要素：起點(diǎn)、方向、長(zhǎng)度。

3.向量的長(zhǎng)度（模）：向量AB的大小，也就是向量AB的長(zhǎng)度（或稱模），記作|AB|。

4.零向量：長(zhǎng)度為0的向量叫做零向量，記作0，零向量的方向是任意的。 單位向量：長(zhǎng)度等于1個(gè)單位的向量，叫做單位向量。

5.平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。若向量a、b是兩個(gè)平行向量，那么通常記作a∥b。平行向量也叫做共線向量。我們規(guī)定：零向量與任一向量平行，即對(duì)于任一向量a，都有0∥a。

6.相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的向量叫做相等向量。若向量a、b是兩個(gè)相等向量，那么通常記作a=b。

7.如圖，已知非零向量a、b，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)A，作AB=a，BC=b，則向量AC叫做a與b的和，記作a?b，即a?b?AB?BC?AC。 向量的加法：求兩個(gè)向量和的運(yùn)算叫做向量的加法。這種求向量的方法稱為向量加法的三角形法則。

8.對(duì)于零向量與任一向量a，我們規(guī)定：a+0=0+a=a

9.公式及運(yùn)算定律：①A1A2+A2A3+...+AnA1=0 ②|a+b|≤

|a|+|b|

③a+b?b?a ④（a+b）+c?a?（b+c）

10.相反向量：①我們規(guī)定，與a長(zhǎng)度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，記作-a。a和-a互為相反向量。 ②我們規(guī)定，零向量的相反向量仍是零向量。

③任一向量與其相反向量的和是零向量，即a+（-a）（=-a）+a=0。 ④如果a、b是互為相反的向量，那么a= -b，b= -a，a?b=0。

2

（-b）⑤我們定義a-b=a+，即減去一個(gè)向量等于加上這個(gè)向量的相反向

量。

11.向量的數(shù)乘：一般地，我們規(guī)定實(shí)數(shù)λ與向量a的積是一個(gè)向量，這種運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘。記作?a，它的長(zhǎng)度與方向規(guī)定如下：①|(zhì)?a|?|?||a| ②當(dāng)λ＞0時(shí)，?a的方向與a的方向相同；當(dāng)λ＜0時(shí)，的方向與a的方向相反；λ=0時(shí)，?a=0

（?a）（???）a ②（???）a??a??a ③?（a?b）=?a??b 12.運(yùn)算定律：①?（??）a??（?a）??（?a）（a?b）=?a??b ④ ⑤?13.定理：對(duì)于向量a（a≠0）、b，如果有一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使b=?a，那么a與b共線。相反，已知向量a與b共線，a≠0，且向量b的長(zhǎng)度是向量a的長(zhǎng)度的μ倍，即|b|=μ|a|，那么當(dāng)a與b同方向時(shí)，有b=?a；當(dāng)a與b反方向時(shí)，有b= ??a。則得如下定理：向量向量a（a≠0）與b共線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使b=?a。

14.平面向量基本定理：如果e1、e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)?1、?2，使

a??1e1??2e2。我們把不共線的向量e1、e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量

的一組基底。

15.向量a與b的夾角：已知兩個(gè)非零向量a和b。作OA?a，OB?b，則

?AOB??（0°≤θ≤180°）叫做向量a與b的夾角。當(dāng)θ=0°時(shí)，a與b同向；當(dāng)θ=180°時(shí)，a與b反向。如果a與b的夾角是90°，我們說a與b垂直，記作a?b。

16.補(bǔ)充結(jié)論：已知向量a、b是兩個(gè)不共線的兩個(gè)向量，且m、n∈R，若

ma?nb?0，則m=n=0。

3

AC17.正交分解：把一個(gè)向量分解為兩個(gè)互相垂直的向量，叫做把向量正交分解。

OB18.兩個(gè)向量和（差）的坐標(biāo)分別等于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的和（差）。即若a?(x1,y1)，b?(x2,y2)，則a?b?(x1?x2,y1?y2)，a?b?(x1?x2,y1?y2) 19.實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)等于用這個(gè)實(shí)數(shù)乘原來向量的相應(yīng)坐標(biāo)。即若

a?(x1,y1)，則?a?(?x1,?y1)

20.當(dāng)且僅當(dāng)x1y2-x2y1=0時(shí)，向量a、b（b≠0）共線 21.定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式：當(dāng)P1P??PP2時(shí)，P點(diǎn)坐標(biāo)為(_ y_ P_P 1 x1??x2y1??y2,) 1??1??_P 2 ①當(dāng)點(diǎn)P在線段P1P2上時(shí)，點(diǎn)P叫線段P1P2的內(nèi)分點(diǎn)，λ＞0

②當(dāng)點(diǎn)P在線段P1P2的延長(zhǎng)線上時(shí)，P叫線段P1P2的外分點(diǎn)，λ＜-1； 當(dāng)點(diǎn)P在線段P1P2的反向延長(zhǎng)線上時(shí)，P叫線段P1P2的外分點(diǎn)，-1＜λ＜0. 22. 從一點(diǎn)引出三個(gè)向量，且三個(gè)向量的終點(diǎn)共線， 則OC??OA??OB，其中λ+μ=1

23.數(shù)量積（內(nèi)積）：已知兩個(gè)非零向量a與b，我們把數(shù)量|a||b|cos?叫做

a與b

的數(shù)量積（或內(nèi)積），記作a·b即a·b=|a||b|cos?。其中θ是a與b的夾角，

|a|cos?（|b|cos?）叫做向量a在b方向上（b在a方向上）的投影。我們

規(guī)定，零向量與任一向量的數(shù)量積為0。

24. a·b的幾何意義：數(shù)量積a·b等于a的長(zhǎng)度|a|與b在a的方向上的投影

|b|cos?的乘積。

25.數(shù)量積的運(yùn)算定律：①a·b=b·a ②（λa）·b=λ（a·b）=a·（λb） ③（a+b）·c=a·c+b·c

4

④(a?b)2?a?2a?b?b ⑤(a?b)2?a?2a?b?b ⑥

2222(a?b)?(a?b)?a?b

26.兩個(gè)向量的數(shù)量積等于它們對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的乘積的和。即a?b?x1x2?y1y2。則：

①若a?(x,y)，則|a|2?x2?y2，或|a|?x2?y2。如果表示向量a的有向

（x1，y1）（x2，y2）線段的起點(diǎn)和中點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、，那么

22a?（x2?x1，y2?y1），|a|?（x2?x1） ?（y2?y1）22（x1，y1）（x2，y2）②設(shè)a?，b?，則a?b?x1x2?y1y2?0?a?b?0 （x1，y1）（x2，y2）27.設(shè)a、b都是非零向量，a?，b?，θ是a與b的夾角，根

據(jù)向量數(shù)量積的定義及坐標(biāo)表示可得：cos??a?b?|a||b|x1x2?y1y2 2222x1?y1x2?y22013-2014學(xué)年度XX學(xué)校XX月考卷

試卷副標(biāo)題

1、在平面直角坐標(biāo)系

中，角與角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊為軸正半軸，終

邊關(guān)于軸對(duì)稱，已知，則（ ）

A. B. C. D.

2、下列命題正確的是（ ） A. 單位向量都相等

B. 若a與b是共線向量， c與b是共線向量，則a與c是共線向量 C. |a?b?a?b|，則a?b?0 D. 若a0與b0是單位向量，則a0?b0?1

3、設(shè)b是a的相反向量, 則下列說法一定錯(cuò)誤的是( ) A. a與b的長(zhǎng)度相等 B. a//b

5

C. a與b一定不相等 D. a是b的相反向量 4、設(shè)a,b都是非零向量，下列四個(gè)條件，使

ab?成立的充要條件是（ ） abA. a?b B. a?2b C. a//b且a?b D. a//b且方向相同 5、下列命題：①平行向量一定相等；②不相等的向量一定不平行；③平行于同一

個(gè)向量的兩個(gè)向量是共線向量；④相等向量一定共線.其中不正確命題的序號(hào)是．．．（ ）

A. ①②③ B. ①② C. ②③ D. ②④ 6、下列命題正確的是（ ）

A. 單位向量都相等 B. 模為0的向量與任意向量共線

C. 平行向量不一定是共線向量 D. 任一向量與它的相反向量不相等 7、下列說法不正確的是（ ）

A. a， b為不共線向量，若a?b?a?b，則a?b

B. 若a， b為平面內(nèi)兩個(gè)不相等向量，則平面內(nèi)任意向量c都可以表示為

c??a??b

C. 若a?b， b?c，則a與c不一定共線 D. ??a??b?a??b

8、在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E為CD中點(diǎn)，點(diǎn)F滿足

??AF?2FD,EF?xAC?yAB ,則x?y?

A. ? B. ?13112 C. ? D. ? 2459、如圖，在?ABC中， AD?的值為（ ）

?21AC,BP?BD，若AP??AB??AC，則

?33

A. ?3 B. ?2 C. 2 D. 3

10、如圖，已知AB?a， AC?b， BC?4BD， CA?3CE，則DE?（ ）

6

A. b?a B.

3413533153a?b C. a?b D. b?a 124431241AB等211、點(diǎn)G為?ABC的重心（三邊中線的交點(diǎn)）．設(shè)GB?a,GC?b，則于 （ ） A.

311a?b B. a?b C. 2a?b D. 2a?b 22212、在?ABC中，若AB?AC?4AP，則PB?（ ） A.

313113AB?AC B. ?AB?AC C. ?AB?AC D. 44444413AB?AC 4413、如圖，在?ABC中， D為線段BC的中點(diǎn)， E,F,G依次為線段AD從上至下的3個(gè)四等分點(diǎn)，若AB?AC?4AP，則（ ）

A. 點(diǎn)P與圖中的點(diǎn)D重合 B. 點(diǎn)P與圖中的點(diǎn)E重合 C. 點(diǎn)P與圖中的點(diǎn)F重合 D. 點(diǎn)P與圖中的點(diǎn)G重合

14、在三棱柱ABC?A1B1C1中，若CA?a,CB?b,CC1?c，則A1B等于( ) A. a?b?c B. a?b?c C. ?a?b?c D. ?a?b?c 15、如圖，正六邊形ABCDEF中， AB?CD?FE?（ ）

A. 0 B. AD C. BE D. CF

16、已知a??3,4?， b??2,?1?且a?xb?a?b，則x等于 （ ） A. 23 B.

????232323 C. D. 2347

17、在ABC中，點(diǎn)O是BC的中點(diǎn)，過點(diǎn)O的直線分別交直線AB， AC于不同兩點(diǎn)M，N，若AB?mAM， AC?nAN， m,n為正數(shù)，則值為

A. 2 B. 1?11?的最小mn22223 C. 1? D. 1? 333和

共線那么的值是（ ）

18、設(shè)兩個(gè)非零向量與不共線，如果A. 1 B. -1 C. 3 D. 19、點(diǎn)在直線（ ）

A. B. C. 3 D. 4

上運(yùn)動(dòng)，

，

，則的最小值是

20、已知向量a??2,1?， b??1,3?，則向量2a?b與a的夾角為( ) A. 135° B. 60° C. 45° D. 30° 21、如圖，在半徑為的圓中，已知弦

的長(zhǎng)為，則

（ ）

A. B. C. D.

，則

等于

22、若四邊形ABCD是正方形，E是DC邊的中點(diǎn)，且( )

A. b＋a B. b－a C. a＋b D. a－b

23、如圖，在正方形ABCD中，M、N分別是BC、CD的中點(diǎn)，若則λ+μ=（ ）

=λ+μ，

A．2

B．

C． D．

24、已知O，N，P在所在平面內(nèi)，且，則點(diǎn)O，N，P依次是

的 （ ）

，

8

A. 重心 外心 垂心 B. 重心 外心 內(nèi)心 C. 外心 重心 垂心 D. 外心 重心 內(nèi)心

25、已知平面向量a，b和c 在同一平面內(nèi)且兩兩不共線，關(guān)于非零向量a的分解有如下四個(gè)命題：

①給定向量b，總存在向量c，使a?b?c ；

②給定向量b和c，總存在實(shí)數(shù)?和?，使a??b??c；

③給定單位向量b和正數(shù)? ，總存在單位向量C和實(shí)數(shù)λ，使a??b??c ； ④給定正數(shù)λ和μ，總存在單位向量b和單位向量c，使a??b??c . 則所有正確的命題序號(hào)是________.

1?，則與a?2b方向相同的單位向量e? ． 26、已知a??1，2?，b??1，27、已知向量a??6,?2?,b??3,m?，且a//b，則a?b?__________． 28、如圖，在正方形ABCD中，已知AB?2，M為BC的中點(diǎn)，若N為正方形內(nèi)（含邊界）任意一點(diǎn)，則AM?AN的取值范圍是

29、

設(shè)OA?1,OB?2， OA?OB?0， OP??OA??OB，且????1，則OA在

OP上的投影的取值范圍是 .

30、把邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD如圖放置，A、D別在x軸、y軸的非負(fù)半軸上滑動(dòng)．則OB?OC的最大值是 ．

31、如圖，△ABC的外接圓的圓心為O，AB＝2，AC＝3，BC?7，則AO?BC?________．

9

32、在邊長(zhǎng)為1的正三角形ABC中，設(shè)e1?AB，e2?AC，點(diǎn)D滿足

BD?1DC. 2（1）試用e1,e2表示AD；

（2）若a?xe1?ye2（x,y?R，且x?0），求

xa的最大值.

33、在邊長(zhǎng)為1的正三角形ABC中，設(shè)e1?AB，e2?AC，點(diǎn)D滿足

BD?1DC． 2（1）試用e1，e2表示AD；

（2）若a?xe1?ye2（x，y?R，且x?0），求

xa的最大值．

34、已知：a、b、c同一平面內(nèi)的三個(gè)向量，其中a?(1,2) （1）若|c|?25，且c//a，求c的坐標(biāo)； （2）若|b|?5，且a?2b與2a?b垂直，求a與b的夾角?． 210

參

1、【答案】D2、【答案】C3、【答案】C4、【答案】D5、【答案】A6、【答案】B 7、【答案】B8、【答案】B9、【答案】D10、【答案】D11、【答案】B 12、【答案】A13、【答案】C14、【答案】D15、【答案】B16、【答案】C 17、【答案】A18、【答案】D19、【答案】C20、【答案】C 21、【答案】B22、【答案】B23、【答案】D24、【答案】C

??25、【答案】①②26、【答案】?，?27、【答案】10

55??34?55?28、【答案】?0,6?29、【答案】??30、【答案】2 31、【答案】 ,1?5?2??32、【答案】(1)AD?2321. e1?e2;(2)333試題分析：(1)由向量加法的運(yùn)算法則可得

11AD?AB?BD?AB?BD?AB?AC?AB即可得結(jié)果；（2）

33xxx，換元后，利用基本不等式即可得結(jié)果. ??222ax?y?xyxe1?ye2????試題解析：（1）AD?AB?BD?AB?（2）

1121BD?AB?AC?AB?e1?e2. 3333??xa?1x?xe?ye?1222?1xx?y?xy 22 ??y?y?1?????x?x?y1?3?????x2?42xy123故當(dāng)??時(shí)，的最大值為.

x2a333、【答案】（1）AD?2321 e1?e2；（2）333試題分析：（1）借助圖形，結(jié)合向量的線性運(yùn)算將AD分解即可；（2）先求a，將

xa化為二次函數(shù)的形式，通過求二次函數(shù)的最值可得結(jié)果。

試題解析：

（1）如圖，結(jié)合圖形可得

11

1121AD?AB?BD?AB?BC?AB?AC?AB?AB?AC

333321?e1?e2。 33??（2）∵a?xe1?ye2，

2∴a?xe1?ye2??2?x2?y2?2xye1?e2?x2?y2?xy，

∴a?∴

x2?y2?xy，

xx?y?xy22xa??1y?y???1??xx??2?1?y1?3?????x2?42，

又x,y?R， ∴當(dāng)

x223y1。 ??時(shí)，取得最大值，且最大值為?x2a3334、【答案】（1）c?(2,4)或c?(?2,?4)；（2）???．

試題分析：（1）求c的坐標(biāo)，若設(shè)出c?(x,y)，則需建立關(guān)于x,y的兩個(gè)方程，而條件|c|?25和c//a恰好提供了建立方程的兩個(gè)初始條件，只需將它們轉(zhuǎn)化到用x,y表示即可，（2）根據(jù)cos??a?b|a|?|b|，還需求出a?b的值，由條件a?2b與2a?b垂

直，易得a?b的值，從而得出夾角?，從規(guī)范嚴(yán)謹(jǐn)?shù)慕嵌葋碇v，在此之前，一定要交待??[0,?]．

試題解析：（1）設(shè)c?(x,y),|c|?25,?x2?y2?25,?x2?y2?20

c//a,a?(1,2),?2x?y?0,?y?2x

由??y?2x22?x?y?20∴??x?2?x??2或?∴c?(2,4)或c?(?2,?4)

?y?4?y??412

（2）?(a?2b)?(a?2b)，?(a?2b)?(a?2b)?0 即2a?3a?b?2b?0,?2|a|2?3a?b?2|b|2?0（※）

22|a|?5,|b|?5，代入（※）中， 2?5?5252??1

55a?b?2?5?3a?b?2??0，?a?b??，?cos???24|a|?|b|??[0,?]，????

考點(diǎn)：平面向量的計(jì)算及向量數(shù)量積的應(yīng)用．

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