《6.3.1二項式定理》教學設計

一、內容與內容解析

1.內容

二項式定理推導及應用.

2.內容解析

（a?b）展開成單項式之和的公式——有著非常在多項式的運算中，二項式定理——把

n重要的作用.從歷史上來看，二項式定理源于解決高次冪開方的問題，當帕斯卡建立了正整數(shù)次冪的二項式定理之后，這個定理又被運用于解決自然數(shù)冪和、組合理論及概率計算等方面問題.牛頓則把指數(shù)從整數(shù)推廣到了有理數(shù)，而他的弟子泰勒則將其進一步推廣到泰勒定理，這個定理是引進多項式的微分學的一個重要起點.在中學階段，二項式定理安排在計數(shù)原理、排列組合知識之后，隨機變量及其分布知識之前。能讓學生看到二項式定理的“聯(lián)系性”，它既是計數(shù)原理和組合知識的應用，也是解決有關概率問題的基礎，有承上啟下的作用．

二項式定理的一種較為自然的發(fā)現(xiàn)方式是觀察幾個具體的二項式展開式，分析展開式的結構，從中發(fā)現(xiàn)一般的二項式展開式的規(guī)律。另一種引入方式，即利用計數(shù)原理。這種方式的難點在于跨領域知識的運用，即用計數(shù)原理的知識去解決多項式乘積展開的問題，學生很難想到，但是一旦建立起知識之間的聯(lián)系，轉換看問題的角度后，學生又會感到這種方法的巧妙與簡單

根據(jù)上述分析，確定本節(jié)課的教學重點為:用多項式運算法則和計數(shù)原理推導出二項式定理，并會用它解決有關的簡單問題.教學難點是：用多項式運算法則和計數(shù)原理推導二項式定理.

二、教學目標

（1）使學生掌握二項式定理及推導方法，二項式展開式、通項公式的特點，并能利用二項式定理計算或證明一些簡單問題。

（2）在學生對二項式定理形成的參與討論過程中，培養(yǎng)學生觀察、猜想、歸納的能力，以及學生的化歸意識及知識遷移能力。

三、教學問題診斷分析

學生在此節(jié)內容之前已經學習了兩個計數(shù)原理與排列組合問題，并能運用它們解決一

（a?b）的展開公式，也了解了（a?b）的展開些計數(shù)問題了；同時，在初中已經熟練掌握了

23公式．但是，學生對于計數(shù)原理與這些多項式乘法運算公式之間的聯(lián)系是陌生的，所以對于學生來說，如何建立它們之間的聯(lián)系并猜想得出二項式定理是本節(jié)課的一個重點，并用計數(shù)原理證明二項式定理是本節(jié)課的一個難點．

四、教學策略分析

根據(jù)“最近發(fā)展區(qū)”的教學理論，把學習者原有的知識經驗作為新知識的生長點，引導學習者從原有的知識經驗中產生新的知識經驗，需要教師精心設計問題，創(chuàng)新問題情境，貫穿啟發(fā)式教學原則，問題的解決過程；采用“多媒體引導點拔”的教學方法以多媒

體演示為載體，以“聯(lián)想類比引導思考”為核心，設計課件與板書展示，引導學生積極思考探索，逐步達到即定的教學目標

“建構主義”強調，學生是信息加工的主體，是意義的主動建構者，因教必須以學為主立足點，根據(jù)學生的思維特點，讓每一個學生自主參與整堂課的知識構建，在教學的各個環(huán)節(jié)中引導學生進行類比遷移歸納分析，對照學習；學生在教師營造的”可探索”的環(huán)境里，積極參與，生動活潑地獲取知識，掌握規(guī)律，主動發(fā)現(xiàn)，主動發(fā)展．

五、教學過程設計

（一）復習舊知，提出問題

問題1：今天是星期四，再過15天后是星期幾？怎么算？

20208問題2：今天是星期四，再過天后是星期幾？

師生活動：教師由淺入深提出問題，直觀引導學生思考．學生口答，教師創(chuàng)新板書結果，為后面的觀察歸納作好鋪墊．

設計意圖：“建構主義”觀點認為：情境必須有利于學生對所學內容的意義建構．根據(jù)教學內容特點和學生的認知規(guī)律，復習舊知識，提問設疑，逐步推進，為學生學習新課內容作知識上、方法上、心理上的準備，同時為后面發(fā)現(xiàn)、證明二項式定理奠定了聯(lián)想、類比的思想方法基礎．

(二) 歸納類比，提出猜想

問題3：請同學們認真觀察每個問題的結果及其結果的種數(shù)，是否聯(lián)想到我們非常熟悉的代數(shù)運算公式呢？

(a?b)1?a?b,

(a?b)2?a2?2ab?b2

(a?b)3?a3?3a2b?3ab2?b3

4（a?b）?a4?4a3b?6a2b2?4ab3?b4

n(a?b)問題4：請同學們大膽地猜想的展開式是怎樣的？

猜想：

0n1n?1kn?kknn(a?b)n?Cna?Cnab???Cnab???Cnb(n?N*)

師生活動：教師引導學生觀察教師在黑板上的板書，從結構形式與數(shù)值特征上展開聯(lián)想．教師鼓勵學生大膽猜想，請一位同學上臺板書猜想結果。

設計意圖：“建構主義”觀點認為：要把學習者原有的知識經驗作為新知識的生長點，通過教師引導學生對問題的結果的觀察類比，實現(xiàn)舊知向新知的遷移?！奥?lián)想”與“思考”是學習者意義建構的關鍵，學生通過對三個展開式的自主探討，親歷了知識的發(fā)生、發(fā)展、形成的過程，從而發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，并在教師的引導下解決問題，達到了”創(chuàng)造性使用教材，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識”的教學目的。牛頓說過：沒有大膽的猜想，就做不出偉大的發(fā)現(xiàn)，通過觀察歸納，培養(yǎng)學生的歸納猜想能力．

（三）以上展開式中各項是如何得到的

222(a?b)?a?2ab?b問題5：以為例，結合初中多項式乘法法則，分析展開式中各項是2(a?b)如何得到的？合并同類項之前的展開式共有幾項？得到的每一項都是幾次式？

3(a?b)問題6：繼續(xù)分析，結合模型，各項是如何得到的，得到的各項分別是怎樣的，3(a?b)合并同類項之前的展開式共有幾項？得到的每一項都是幾次式？

4(a?b)問題7：繼續(xù)分析，結合模型，各項是如何得到的，得到的各項分別是怎樣的，4(a?b)合并同類項之前的展開式共有幾項？得到的每一項都是幾次式？

n(a?b)問題8：通過前幾個式子的分析，繼續(xù)分析，結合模型，各項是如何得到的，n(a?b)得到的各項分別是怎樣的，合并同類項之前的展開式共有幾項？得到的每一項都是

幾次式？請依次列舉出來。

（四）展開式各項的系數(shù)是如何得到的

問題9：我們看到展開式中有些項會重復出現(xiàn)多次，所以需要合并同類項，那怎么樣得到同類項的個數(shù)，也就是每一項的系數(shù)呢？

4(a?b)?(a?b)(a?b)(a?b)(a?b)中第一個括號中的字母分別記成為了尋找規(guī)律，我們將

a1,b1；第二個括號中的字母分別記成a2,b2；依次類推。請再次用多項式乘法運算法則計算：

(a?b)4?(a1?b1)(a2?b2)(a3?b3)(a4?b4)

4?a1a2a3a4 ………a

?a1a2a3b4?a1a2a4b3?a1a3a4b2?a2a3a4b13 ………ab

?a1a2b3b4?a1a3b2b4?a1a4b2b3?a2a3b1b4?a2a4b1b3?a3a4b1b222 ………ab

?a1b2b3b4?a2b1b3b4?a3b1b2b4?a4b1b2b33ab ………

?b1b2b3b4 ………b

42222aba問題10：以項為例，有幾種情況相乘均可得到b項？這里的字母a,b各來自哪

個括號？

22問題11：既然以上的字母a,b分別來自4個不同的括號，ab項的系數(shù)你能用組合數(shù)

來表示嗎？

問題12：請用類比的方法，寫出二項展開式中的其它各項系數(shù)，并將式子括號中的系數(shù)全部用組合數(shù)的形式進行填寫：

(a?b)4?(a?b)(a?b)(a?b)(a?b)???a4???a3b???a2b2???ab3???b4

問題13：請用類比的方法，寫出二項展開式中的各項系數(shù)，并加以證明.

(a?b)n???an???an?1b???an?2b2?????an?rbr?????bn(n?N?)

師生活動：教師通過課件動畫演示，直觀展現(xiàn)二項式展開式的各項和各項系數(shù)的得到過程。

設計意圖：郭沫若說過：“既異想天開，又實事求是，這是科學工作者特有的風格”．通

3(a?b)過仿照展開式的探究方法，二項式定理的證明采用“說理”的方法，從計數(shù)原理的

角度對展開過程進行分析，概括出項的形式，用組合知識分析展開式中具有同一形式的項的個數(shù)，從而得出用組合數(shù)表示的展開式，培養(yǎng)學生嚴謹推理的數(shù)學思維意識．

（五）熟悉定理，發(fā)現(xiàn)特征

問題14：1.合并同類項之后二項式定理展開式共有幾項？每一項都是幾次？

2.二項式定理展開式各項次數(shù)與指數(shù)有什么關系？展開式中字母a和b的次數(shù)依次發(fā)生什么變化？

3.二項式定理展開式的結構特征是什么？哪一項最具有代表性？

問題15：二項式展開式的通項為？二項式系數(shù)？

師生活動：教師從如何更熟練地記憶二項展開式的角度提出問題，引導學生觀察展開式的特征．學生口答觀察結果，教師板書示范．

設計意圖：達爾文說過：科學就是整理事實，以便從中得出普遍的規(guī)律或結論，通過對二項式定理進一步研究，發(fā)現(xiàn)二項展開式的一些特征，掌握規(guī)律；進一步提高學生歸納、推理的能力，強化對二項式定理的深度理解，為后面對二項式系數(shù)性質的研究作好準備，從根本上掌握運用二項式定理解決問題的原理。

（六）．新知應用

【例1】1.求?a?b?的展開式

n20208? 2.解決起始問題：

5??1?2x【例2】求的展開式

8??1?x【例3】1.求的展開式中的第4項

8??x?1 2.求的展開式中的第4項

（七）課堂小結

1.二項式定理，通項，二項式系數(shù)

2.從二項式定理的發(fā)現(xiàn)、證明與應用的過程中體會到什么數(shù)學思想方法？

（八）課后作業(yè)

（x?1）的展開式 1.寫出

62.寫出

（3x?123xn）的第r+1項

3.閱讀

六、板書設計

二項式定理

1. 二項式定理 例題講解

2. 二項式系數(shù)

3. 二項式展開式的通項