一. 中考數(shù)學壓軸題的功能與定位

目前福建省中考數(shù)學試卷都是畢業(yè)、升學兩考合一試卷，兼顧學生的基礎性和發(fā)展性，考試具有評價、選撥功能。壓軸題的目標是選拔功能,意圖通過壓軸題考查學生的綜合素質(zhì)，尤其是分析問題、解決問題的能力，發(fā)現(xiàn)挖掘?qū)W生繼續(xù)升學的潛力,同時也為初中教學指明方向。壓軸題設置常見有探究型問題、開放型問題、運動變化型問題、操作型問題、應用型問題等。壓軸題常以支撐整個初中數(shù)學的核心知識與重要思想方法為載體, 突出能力考查，對學生的閱讀能力、計算能力、理解能力、思維能力有較高的要求；壓軸題突出了對數(shù)形結合、歸納概括、轉(zhuǎn)化化歸、分類討論、函數(shù)與方程、演繹推理等主要數(shù)學思想方法的考查。因此壓軸題是區(qū)分度和綜合性的集中體現(xiàn),也滲透了命題者對中考方向的理解。 二. 中考數(shù)學壓軸題的內(nèi)容與形式

研究近幾年全國中考數(shù)學壓軸題考查的內(nèi)容,大都可分成以下兩類: 1. 以幾何為載體考查函數(shù)或幾何. 2. 以函數(shù)為載體考查函數(shù)或幾何

其中函數(shù)的載體有一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)，其中以二次函數(shù)為重點。函數(shù)考查的內(nèi)容有求函數(shù)的解析式、求相關點的坐標、求函數(shù)的最值、研究函數(shù)的圖象、函數(shù)的性質(zhì)等。代數(shù)方面涉及的知識主要有方程、函數(shù)、不等式、坐標、和解直角三角形（三角函數(shù)）等。

幾何的載體有三角形、四邊形、圓等，其中以三角形、四邊形為重點。幾何考查的內(nèi)容有圖形形狀的判定、圖形的大?。ň€段的長度、圖形的面積的大小或最值等）計算、圖形的關系（相似或全等）判定、圖形的運動等。圖形就運動對象而言有點動（點在線段或線上運動），線動（直線或線段的平移、旋轉(zhuǎn)）和面動（部分圖形的平移、旋轉(zhuǎn)、翻折）等。

幾何中考查代數(shù)，代數(shù)中考查幾何，代數(shù)與幾何融為一體，是數(shù)形結合的完美體現(xiàn)，試題具有較強的綜合性、靈活性、和開放性。 三．中考數(shù)學壓軸題的評析與反思

現(xiàn)以筆者所參加的莆田市近幾年的中考和質(zhì)檢命題為范例作說明 1．以幾何為載體考查幾何

例1．（2008年莆田市初三質(zhì)檢第25題）

（1）探究：如圖1，E、F分別在正方形ABCD的邊BC、CD上，且∠EAF＝45，請猜測并寫出線段DF、BE、DF之間的等量關系（不必證明）. （2）變式：如圖2，E、F分別在四邊形ABCD的邊BC、CD上，∠B＋∠D＝180，

1AB＝AD，∠EAF＝∠BAD，則線段BE、EF、FD的等量關系又如何？請加以證明.

2（3）應用：在條件（2）中，若∠BAD＝120°，AB＝AD＝1，BC＝CD（如圖3），

G求此時△CEF的周長. DA D

ADAFF圖1 F

B E

圖1

C

BE圖 2CBE圖 3C

[試題評析]試題通過先研究簡單圖形---正方形的線段的等量關系和證明方法，從中掌握分析問題的思路和解決問題的方法步驟，然后引申、拓展，提示規(guī)律，從而解決了一般圖形---四邊形的類似問題，最后又在一個隱蔽的背景中考查規(guī)律的應用。需要學生掌握通過觀察、實驗、歸納、類比等獲得的數(shù)學猜想正確與否的原理、策略與方法，以及結合演繹推理與合情推理發(fā)展推理能力。本題就改變了傳統(tǒng)幾何證明題的模式（已知，求證，證明），將合情推理與演繹推理有機融合在一起，解題過程體現(xiàn)了從特殊到一般的數(shù)學思想，這有助于學生加深對問題的理解，提高綜合解題能力，形成創(chuàng)新意識，體現(xiàn)課改理念，對教學具有積極的導向作用．

[命題反思]幾何考查體現(xiàn)出降低嚴格邏輯證明的要求，不是簡單化地降低幾何題目的難度，而是按照課程標準的要求，注重探究、重視重要的數(shù)學思想方法考查，從加強與代數(shù)內(nèi)容的聯(lián)系角度合理設計幾何題目的難度；加強對實驗操作、讀圖作圖、合情推理等能力的要求，強化圖形變換的應用，側(cè)重考查數(shù)學思想方法以及運用幾何知識解決實際問題能力等特點．命題中對幾何基本圖形進行改編常用的策略有：原題條件的弱化或強化、結論的延伸與拓展、條件與結論的互換；或?qū)D形進行平移、翻折、旋轉(zhuǎn)等操作，使之形成一系列的變式與拓展問題。

2．以幾何為載體考查函數(shù) 例2．（2008年莆田市中考25題）

閱讀理解：如圖1，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠B=900,

點P在BC邊上，當∠APD=900時，易證△ABP∽△PCD，從而得到 BP?PC?AB?CD.解答下列問題：

（1） 模型探究：如圖2，在四邊形ABCD中，點P在BC邊上，當∠B=∠C=∠APD時， 求證：BP?PC?AB?CD；

（2） 拓展應用：如圖3，在四邊形ABCD中，AB=4，BC=10，CD=6，∠B=∠C=600， AO⊥BC于點O，以O為原點，以BC所在的直線為x軸，建立平面直角坐標系，點P為線段

OC上一動點（不與端點O、C重合）． ① 當∠APD=600時，求點P的坐標；

② 過點P作PE⊥PD，交y軸于點E，設OP=x，OE=y，求y與x的函數(shù)關系式，并寫出

自變量x的取值范圍．

ADADAyDBPCBPCBOPCx

圖 1圖 2（第25 題圖）圖 3 [試題評析]本題通過“閱讀理解—模型探究—拓展應用”三環(huán)節(jié)問題設置，實際上向?qū)W生展示了一個研究具有一般性問題的較完整的過程：先從這個一般性問題的“特殊”（圖1為直角情形）入手，到“一般”（圖2為非直角情形）；再從“一般”（問題（2）①）上升到新背景中的“特殊”（問題（2）②），使學生經(jīng)歷了“特殊—一般—特殊”由淺入深、歸納與演繹交替變化的思維過程.試題在第一環(huán)節(jié)中提供了 “易證, △ABP∽△PCD”的啟示，學生在解破“易證”中的具有廣泛意義的思考或研究方法（即所謂“一般性方法”）后，就能類比解決后續(xù)的各個問題.考查學生利用類比方法進行自主探究學習的能力.本題的價值不僅在于環(huán)環(huán)相扣、層層推進的精彩設置，更在于其本身突出地展示著“一般性方法”的深刻含義和普遍適用性，能掌握并善于運用一般性方法，就顯示出較高的數(shù)學學習能力.（以上是2008年福建省中考數(shù)學評價組的評析）

[命題反思]本題為代數(shù)幾何綜合題，體現(xiàn)新課改數(shù)學是一個整體不可分割的理念，而且突出模型的探究，抽象,概括與應用，體現(xiàn)了研究一個問題時比較全面的過程：第一，對問題情景分析的基礎上先形成猜想；第二，對猜想進行驗證（或證明成立，或予以否定），第三，在經(jīng)過證明肯定了猜想之后，再做進一

步的推廣．因此，本題的意義就不只在于考查了相應的知識，更在于考查了活動過程，從而也進一步加強了學生對數(shù)學活動過程中的方法與策略的認識及運用．這樣的考題有著較好的可推廣性，它在很大程度上可以檢驗學生的學習過程和方式，具有很好的教育性。此題本身含有更多的“創(chuàng)造成份”，形式又新穎，嘗試了數(shù)學學習的過程性考查，體現(xiàn)了新課改理念。題目對學生在高中的數(shù)學學習有良好的預測效度，作為高中招生考試題，是非常適宜的 例3．（2009年莆田市質(zhì)檢24題）

（1）如圖1，△ABC的周長為l，面積為s，其內(nèi)切圓的圓心為O，半徑為r，求證：r?2s； l（2）如圖2，在△ABC中，A、B、C三點的坐標分別為A（-3，0）、B(3，0)、C（0，4）．若

△ABC的內(nèi)心為D，求點D的坐標；

（3）若與三角形的一邊和其他兩邊的延長線相切的圓叫旁心圓，圓心叫旁心．請求出（2）

中的△ABC位于第一象限的旁心的坐標。

y

CC

OA圖 1BAODBx圖 2[試題評析]三角形的內(nèi)心為三角形角平分線的交點,由三角形其內(nèi)切圓組成的圖形是初中幾何的基本圖形之一.學過三角形的內(nèi)切圓后,幾何每個學生都做過如下的題目:設⊿ABC的三邊分別為a,b,c, 內(nèi)切圓半徑為r,求證:s＝1／2（a+b+c）r.此題正是在上述圖形和結論的基礎上進行了拓展與延伸:首先第⑴小題的變換結論為: r?2s；,考查了學生的基礎知識;接著第（2）小題將第⑴小題的基本l圖形置于平面直角坐標系中,進行了恰當?shù)耐卣?考查學生知識遷移的能力和靈活應用知識的能力;最后第（3）小題又在第（2）小題的基礎上進一步延伸,知識的應用也由形內(nèi)擴展到了形外,而解決問題的方法也呈現(xiàn)出多樣性和靈活性,較好地考查了學生的數(shù)學思維能力和綜合應用知識分析、解決問題的能力。整個試題的設計以三角形的內(nèi)切圓為背景，由簡單到復雜，由單一到綜合，層次分明，梯度合理，拓展適度，延伸自然，符合學生的認知規(guī)律，具有較好的效度和區(qū)分

度。（以上引自《中國數(shù)學教育》2009年第10期中考試題研究張衛(wèi)東老師的評析）

[命題反思]本題要求學生應用新定義探索解決問題，需要學生閱讀題目給出的相對于學生來說是新知識的材料，并在理解的基礎上加以運用，以解決新問題．考查了學生自己閱讀材料獲取新知識，學習理解新知識和應用新知識的能力，考查層次豐富，不同水平的學生可以充分展示自己不同的探究深度，較好地考查了學生綜合運用數(shù)學知識、思想方法去探索規(guī)律、獲取新知的能力。試題在知識遷移的同時方法也可以遷移，而且是一題多解，從而讓學生經(jīng)歷學習、探索、問題解決的整個過程。這里將考試過程與學習過程結合起來，體現(xiàn)了一種較好的理念。借助問題解決的過程實現(xiàn)對所直接考查知識和技能的再抽象到一般意義下該能力和思想方法的考查，考題顯現(xiàn)出新的問題模式策略，對于改進、提高中考的科學有效性、引導課堂教學改革具有積極的作用。。 3．以函數(shù)為背景考查函數(shù)或幾何 例1． （2008年莆田市中考26題）

如圖，拋物線c1: y=x?2x?3 與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于點C．點P為線段BC上一點，過點P作 直線l⊥x軸于點F，交拋物線c1于點E． （1）求A、B、C三點的坐標；

（2）當點P在線段BC上運動時，求線段PE長的最大值；

（3）當PE取最大值時，把拋物線c1向右平移得到拋物線c2，拋物線c2與線段BE交．．于點M，若直線CM把△BCE的面積分為1:2兩部分，則拋物線c1 應向右平移幾個單位長度可得到拋物線c2？

2

例2． （2009年莆田市初三質(zhì)檢第25題. ）

AON1N2CEPM2M1FGBxyyAMC1DNOBxCQl例1圖 例2圖 如圖，拋物線y?ax?3ax?c(a?0)與y軸交于C點， 與x軸交于A、B兩點，A點在B點的左側(cè)，點B的坐標為（1，0）,OC=3?OB． （1）求拋物線的解析式；

（2）若點D是線段AC下方拋物線上的動點，求四邊形ABCD面積的最大值； （3）若點E在x軸上，點P在拋物線上，是否存在以A、C、E、P為頂點且以AC

為一邊的平行四邊形？若存在，求點P的坐標；若不存在，請說明理由。

2 [試題評析]以上兩例都是以二次函數(shù)為載體展開，突出了利用函數(shù)思想進行科學探究之過程的考查．強調(diào)了代數(shù)與幾何的有機聯(lián)系，既關注了知識間的縱向聯(lián)系，在知識塊層面和知識鏈層面上合理設計試題，又關注了知識間的橫向聯(lián)系，加強核心觀念和數(shù)學思想方法的考查，很好的考查了學生的隨機應變能力和審題能力，體現(xiàn)了對學生的發(fā)展性要求

兩個題目第⑴小題分別通過由解析式求點坐標，由點的坐標求解析式,嘗試了從不同角度考查學生采集“數(shù)”與“形”信息，屬于基礎性的考查。

第（2）小題點的運動使圖形的形狀發(fā)生了改變，其線段長度或圖形面積也就與點的運動時間形成了函數(shù)的對應關系．試題通過特殊位置來區(qū)分函數(shù)的不同變化趨勢，綜合運用數(shù)學知識來解決問題，突出考查了函數(shù)思想在動態(tài)幾何中的運用，涵蓋了方程和函數(shù)等知識，確保了試題具有較好的效度和可推廣性。 例1中問題（3）表面是拋物線平移，本質(zhì)是線段分割圖形的幾何問題，例2中問題（3）也是幾何圖形的形狀問題，由于圖形的不確定性都需要討論。第（3）小題設計成條件探究題，有利于學生猜想、分析、比較、歸納和推理，又能考查數(shù)形結合、分類討論、方程與函數(shù)、轉(zhuǎn)化等思想和方法，以此考查并進而增強學生的探索能力、發(fā)現(xiàn)能力和創(chuàng)新能力。試題開放的形式，探究的過程，都給學生以較大的發(fā)揮空間，有利于學生展示在數(shù)學中所取得的成就．

[命題反思] 函數(shù)是初中數(shù)學的核心內(nèi)容，也是重要的基礎知識和重要的數(shù)學思想．它是其它所有與數(shù)量關系相關問題的思想基礎和知識基礎，諸如眾多的方程問題，不等式問題，幾何圖形中的幾何量的關系問題，特別是與運動相關的幾何圖形問題，或隱或顯地都以函數(shù)作為指引，作為依據(jù)，作為基礎。函數(shù)的自身結構特點和它在數(shù)學中的地位決定了：函數(shù)不僅與數(shù)學其它知識有著密切的聯(lián)系，而且還有著極為廣泛的應用．因此，它是聯(lián)系數(shù)學知識間或數(shù)學與實際問題間的紐帶和橋梁，是中考數(shù)學試卷中不可或缺的重要內(nèi)容．其呈現(xiàn)方式靈活多變，

特別在壓軸題中，函數(shù)常常起著其他知識不可替代的作用．二次函數(shù)是初中學習的重點與難點，也是高中進一步學習的重要內(nèi)容。以二次函數(shù)為背景的試題常受命題者的青睞，能夠全面考查用數(shù)析形的技能與計算能力，這也是學生將來學習高中數(shù)學知識所必備的。但受所學知識，命題一般不會用以純函數(shù)的形式出現(xiàn)，而是結合幾何圖形或點的運動使幾何圖形發(fā)生變化，從而讓代數(shù)與幾何有機結合起來. 在實際問題或綜合問題中，一般首先是函數(shù)思想指導下確定或選擇運用函數(shù)，然后建立函數(shù)，最后根據(jù)函數(shù)性質(zhì)解決相應的問題,突出考查了函數(shù)思想在動態(tài)幾何中的運用.試題在考查學生思維的靈活性、廣闊性方面具有較高的效度。

隨著對《課程標準》基本理念被更為廣泛和更為深入地認識，對“合情推理”與“數(shù)學活動過程”的考查也呈增強之勢．這類考題與通常的“知識型”題目所反映出的考法的不同之處在于：第一，考查目標和方向的立意不同，其立意或著眼于“猜想”能力的重要價值，或著眼于“數(shù)學活動過程”中的知識內(nèi)涵，特別是思想方法內(nèi)涵；第二，其載體的選取不同，突出地要求載體既要對學生具有現(xiàn)實性，更要對學生具有新穎性和適度的挑戰(zhàn)性，而且要基于核心的知識內(nèi)容；第三，其呈現(xiàn)方式不同，既要考慮“猜想”得以形成的足夠條件，“活動”得以展開的必要導示，又要給學生留有盡可能大的思考空間或活動空間，以更多地發(fā)揮學生的自主性和獨到見解。為了實現(xiàn)這一理念，中考壓軸題中出現(xiàn)了很多通過讓學生經(jīng)歷某種形式的數(shù)學活動，在活動過程中發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，進而解決問題的題目。這些題目更多地是借助于歸納和類比，即通過創(chuàng)設恰當?shù)那榫?，導示學生借助于歸納或類比形成猜想，發(fā)現(xiàn)與獲得新知識．試題較好地考查了學生通過觀察、實驗、歸納、類比等活動獲得數(shù)學猜想，并借助某種方式證明猜想合理性的數(shù)學能力，取得了較好的效果，對于促進課程改革具有積極的推動作用。試卷應繼續(xù)加強對問題形成過程的考查，這樣做有助于引導課標所倡導的教學方式，加強探索性問題考查有利于引導教學實踐中讓學生有更多的自主探究的機會，完善教學方式。

因此 培養(yǎng)并提高學生的合情推理能力，讓學生經(jīng)歷數(shù)學活動過程，并從中體會及感悟積極的態(tài)度與科學的思想方法所蘊涵的意義和作用，都是促進學生創(chuàng)新精神的養(yǎng)成及學習能力提高的有效方式和途徑．

本文發(fā)表在《福建中學數(shù)學》2010年第10期