專題24.3 正多邊形和圓

典例體系（本專題共77題52頁）

一、知識點

1、正多邊形的有關概念：邊長(a)、中心(O)、中心角(∠AOB)、半徑(R))、邊心距(r),如圖所示

2、特殊正多邊形中各中心角、長度比：

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中心角=120° 中心角=90° 中心角=60°，△BOC為等邊△ a:r:R=2:1:2 a:r:R=2::2 a:r:R=2:2

二、考點點撥與訓練

考點1：正多邊形的邊數計算典例：（2020·江蘇宿豫·初三期末）如圖，AC是⊙O的內接正四邊形的一邊，點B在弧AC上，且BC是⊙O的內接正六邊形的一邊．若AB是⊙O的內接正n邊形的一邊，則n的值為（ ）

A．6

方法或規(guī)律點撥

B．8 C．10 D．12

本題考查正多邊形和圓，解題的關鍵是根據正方形的性質、正六邊形的性質求出中心角的度數． 鞏固練習

1．（2020·上海市建平中學西校初三月考）如果一個正多邊形的中心角為72，那么這個正多邊形的邊數是（ ）． A．4

B．5

C．6

D．7

2．（2020·云南麒麟·初三一模）若一個圓內接正多邊形的中心角是36°，則這個多邊形是（ ） A．正五邊形

B．正八邊形

C．正十邊形

D．正十八邊形

3．（2019·河北初三月考）正多邊形的內切圓與外接圓的周長之比為3:2，則這個多邊形的內角和為（ ） A．720?

B．360?

C．240?

D．180?

4．（2020·上海浦東新·初三二模）如果一個正多邊形的中心角等于72?，那么這個多邊形的內角和為（ ） A．360?

B．0?

C．720?

D．900?

5．（2019·浙江溫州·初三月考）一個圓的內接正多邊形中，一邊所對的圓心角為72°，則該正多邊形的邊數是( ) A．6

B．5

C．4

D．3

6．（2019·福建莆田八中初三期末）若正多邊形的一個中心角是30°，則該正多邊形的邊數是( ) A．6

B．12

C．16

D．18

7．（2020·湖北仙桃·月考）如圖，AC是⊙O的內接正六邊形的一邊，點B在弧AC上，且BC是⊙O的內

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接正十邊形的一邊，若AB是⊙O的內接正n邊形的一邊，則n=____ .

8．（2019·河北路南·初三三模）如圖，一個正n邊形紙片被撕掉了一部分，已知它的中心角是40°，那么n＝_____．

9．（2019·全國初三課時練習）如果正n邊形的中心角是40°，那么n=_______. 考點2：正多邊形的有關計算

典例：（2020·江西九江·初三其他）在下列正多邊形中，O是中心，定義：?OBC為相應正多邊形的基本三角形．如圖1，?OBC是正三角形ABC的基本三角形；如圖2，?OBC是正方形ABCD的基本三角形； 如圖3，將基本?OBC繞點O逆時針旋轉?角度得?OB?C?．?OBC為正n邊形ABCDEF…的基本三角形．

（1）若線段BC與線段B?C?相交點O?，則： 圖1中?的取值范圍是________； 圖3中?的取值范圍是________； （2）在圖1中，求證BO??O?C?

（3）在圖2中，正方形邊長為4，??135?，邊BC上的一點P旋轉后的對應點為P?，若B?P?OP?有最小值時，求出該最小值及此時BP的長度； （4）如圖3，當B?C??OC時，直接寫出?的值． 方法或規(guī)律點撥

本題屬于多邊形綜合題，考查了正多邊形的性質，旋轉變換，全等三角形的判定和性質，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造全等三角形解決問題，屬于中考壓軸題． 鞏固練習

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1．（2020·云南盈江·初三學業(yè)考試）劉徽是我國魏晉時期卓越的數學家，他在《九章算術》中提出了“割圓術”，利用圓的內接正多邊形逐步逼近圓來近似計算圓的面積．如圖，若用圓的內接正十二邊形的面積S1來近似估計⊙O的面積S，設⊙O的半徑為1，則S?S1的值為（ ）（??3.14）

A．0 B．0.14 C．0.5 D．1

2．（2020·河北遵化·初三三模）如圖，以正六邊形ABCDEF的對角線CF為邊，再作一個正六邊形

CFGHMN，若AB?3，則EG的長為（ ）

A．2

B．22 C．3

D．23 3．（2018·甘肅靜寧·初三期末）正多邊形的一個中心角為36度，那么這個正多邊形的一個內角等于________度．

4．（2020·江蘇省泰興市黃橋初級中學月考）正十邊形的一個中心角的度數是_____°．

5．（2020·東莞外國語學校二模）如圖，要擰開一個邊長為a?8mm的正六邊形螺帽，扳手張開的開口b至少為__________mm．

6．（2020·西安高新一中灃東中學初三三模）如圖，已知正六邊形ABCDEF，則∠ADF＝_____度．

7．（2020·山東曹縣·初三三模）如圖，正五邊形ABCDE內接于

O，P為AB上一點，連接PA,PE，則

?APE的度數為__________.

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8．（2020·貴州紫云·初三期末）圓內接正六邊形一邊所對的圓周角的度數是__________． 9．（2020·山東嵐山·初三其他）若正六邊形的邊長是5，則其較長的一條對角線長為_______． 10．（2020·湖南新邵·初三月考）如圖所示，正六邊形ABCDEF內接于的度數是___________．

O，連接AD，FD，則?FDA

11．（2020·揚州中學教育集團樹人學校初三二模）如圖，在正十邊形A1A2A3A4A5A6A7A8A9A10中，連接A1A4、A1A7，則∠A4A1A7＝_______°．

12．（2020·浙江三門·初三其他）如圖，⊙O的半徑為r，則它的內接正六邊形ABCDEF的周長為____．

13．（2020·江蘇東臺·月考）已知⊙O的半徑2，則其內接正三角形的面積為 ． 14．（2020·浙江紹興·月考）如圖，

O為等邊?ABC的外接圓，半徑為2，點D在劣弧AB上運動（不與

點A,B重合），連接DA，DB，DC．

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（1）求證：DC是?ADB的平分線；

（2）四邊形ADBC的面積S是線段DC的長x的函數嗎？如果是，求出函數解析式；如果不是，請說明理由；

（3）若點M,N分別在線段CA，CB上運動（不含端點），經過探究發(fā)現，點D運動到每一個確定的位置，

?DMN的周長有最小值t，隨著點D的運動，t的值會發(fā)生變化，求所有t值中的最大值．

考點3：與正多邊形有關的作圖問題

典例：（2020·全國初三課時練習）已如：⊙O與⊙O上的一點A

（1）求作：⊙O的內接正六邊形ABCDEF；（ 要求：尺規(guī)作圖，不寫作法但保留作圖痕跡） （2）連接CE，BF，判斷四邊形BCEF是否為矩形，并說明理由．

方法或規(guī)律點撥

本題考查了作圖-復雜作圖：復雜作圖是在五種基本作圖的基礎上進行作圖，一般是結合了幾何圖形的性質和基本作圖方法．解決此類題目的關鍵是熟悉基本幾何圖形的性質，結合幾何圖形的基本性質把復雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．也考查了矩形的判定與正六邊形的性質． 鞏固練習

1．（2020·河北青縣·初三二模）如圖，AD為下：

甲：1．作OA的中垂線，交圓O于B,F兩點；2．作OD的中垂線，交圓O于C,E兩點；3．順次連接

O直徑，作O的內接正六邊形，甲、乙兩人的作法分別如

A,B,C,D,E,F六個點，六邊形即為所求；

乙：1．以A為圓心，OA長為半徑作弧，交圓O于B,F兩點；2．以D為圓心，OA長為半徑作弧，交圓O于C,E兩點；3．順次連接A,B,C,D,E,F六個點，六邊形即為所求； 對于甲、乙兩人的作法，可判斷（ ）

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A．甲對，乙不對 C．兩人都不對

B．甲不對，乙對 D．兩人都對

2．CE，（2019·云南官渡·二模）如圖，⊙O是正八邊形ABCDEFGH的外接圓，連接AE，若⊙O的半徑為2，則圖中陰影部分的面積為（ ）

A．

?2+1 B．?+2 C．?+4 D．2?+1

3．（2020·日喀則·一模）下列命題是假命題的是（ ） A．半徑為R的圓內接正方形的邊長等于2R B．正六邊形的每個中心角都等于60° C．正八邊形是軸對稱圖形 D．正七邊形是中心對稱圖形

4．（2020·天津南開·初三期末）如圖，在圓內接正六邊形ABCDEF中，BF，BD分別交AC于點G，H．若該圓的半徑為15cm，則線段GH的長為（ ）

A．5cm B．53cm C．35cm D．103cm

5．（2020·江西贛州·初三）如圖，某同學在一個邊長為a的正六邊形內，隨意擺放兩個相同的斜邊長為a、S空白 是（ ）含有60°角的直角三角板，則． S陰影 16 / 19

A．6 C．4

B．5 D．3

6．（2020·福建廈門一中初三二模）劉徽是中國古代卓越的數學家之一，他在《九章算術》中提出了“割圓術”，即用內接或外切正多邊形逐步逼近圓來近似計算圓的面積，設圓O的半徑為1，若用圓O的外切正六邊形的面積來近似估計圓O的面積，那么圓O的面積估計值是（ ） A．3

B．23 C．π

D．2π

7．（2020·江西新余·初三一模）如圖，正六邊形ABCDEF在正三角形網格內，點O為正六邊形的中心，僅用無刻度的直尺完成以下作圖．

（1）在圖1中，過點O作AC的平行線； （2）在圖2中，過點E作AC的平行線．

8．（2020·湖北江漢·三模）按要求作圖，不要求寫作法，但要保留作圖痕跡. （1）如圖1，A為圓E上一點，請用直尺（不帶刻度）和圓規(guī)作出圓內接正方形；

（2）我們知道，三角形具有性質，三邊的垂直平分線相交于同一點，三條角平分線相交于一點，三條中線相交于一點，事實上，三角形還具有性質：三條高交于同一點，請運用上述性質，只用直尺（不帶刻度）作圖：

①如圖2，在□ABCD中，E為CD的中點，作BC的中點F;

②圖3，在由小正方形組成的網格中，的頂點都在小正方形的頂點上，作△ABC的高AH

9．（2020·江西吉安·初三其他）如圖， 已知多邊形ABCDEF中，AB?AF，DC?DE，BC?EF，

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?ABC??BCD，分別按請僅用無刻度的直尺，分別按下列要求畫圖.

(1)在圖①中，畫出一個以BC為邊的矩形；

(2) 在圖②中， 若多邊形ABCDEF是正六邊形，試在AF上畫出點M，使AM?AF

10．（2020·江蘇海陵·初三一模）在8×6的正方形網格中，正方形邊長為1單位，△ABC的三個頂點均在格點上，請用無刻度的直尺作圖．

(1)在圖1中畫一個與△ABC面積相等，且以BC為邊的平行四邊形，頂點均在格點上； (2)在圖2中畫一個以點C為頂點的正方形，其余三點均在格點上，此正方形的面積與△ABC

面積相等．

考點4：同圓（正多邊形）與多個正多邊形（圓）問題

典例：（2020·全國初三課時練習）如圖，⊙O的半徑為4cm，其內接正六邊形ABCDEF，點P,Q同時分別從A,D兩點出發(fā)，以1cm/s的速度沿AF,DC向終點F,C運動，連接PB,QE,PE,BQ．設運動時間為

ts．

（1）求證：四邊形PBQE為平行四邊形； （2）填空：

①當t?________s時，四邊形PBQE為菱形； ②當t?_________s時，四邊形PBQE為矩形． 方法或規(guī)律點撥

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本題主要考查平行四邊形、菱形、矩形的性質與判定，涉及動點問題，掌握各圖形的性質及判定方法是解題關鍵． 鞏固練習

1．（2020·湖北隨州·）設邊長為a的等邊三角形的高、內切圓的半徑、外接圓的半徑分別為h、r、R，則下列結論不正確的是（ ） ．．．

A．h?R?r B．R?2r C．r?3a 4D．R?3a 32．（2020·浙江龍灣·初三學業(yè)考試）如圖，?PQR是方形，BC//QR，則?QOB的度數是（ ）

O的內接正三角形，四邊形ABCD是O的內接正

A．30 B．20? C．18? D．15?

3．（2019·河南初三其他）如圖，在半徑為6的⊙O中，正六邊形ABCDEF與正方形AGDH都內接于⊙O，則圖中陰影部分的面積為（ ）

A．27﹣93 B．183 C．﹣183 D．

4．（2020·曲靖市馬龍區(qū)通泉中學初三其他）如圖，正方形ABCD和等邊△AEF都內接于圓O，EF與BC、CD別相交于點G、H．若AE＝6，則EG的長為（ ）

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A．3 B．3﹣3 C．2 D．23﹣3

5．（2017·天津和平·初三三模）如圖，?ABC和?DEF分別是們的面積比為（ ）

O的外切正三角形和內接正三角形，則它

A．4 B．2 C．3 D．2

6．（2019·上海交大附中初三）如圖，ABCDE是邊長為1的正五邊形，則它的內切圓與外接圓所圍圓環(huán)的面積為________．

7．（2020·四川馬邊·初三二模）如圖，正六邊形ABCDEF的邊長為2，則該正六邊形的外接圓與內切圓所形成的圓環(huán)面積為________．

8． （2020·湖北巴東·月考）如圖，⊙O內接正五邊形ABCDE與等邊三角形AFG，則∠FBC＝__________．

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9．（2020·四川青羊·初三二模）如圖，作半徑為2的⊙O的內接正四邊形ABCD，然后作正四邊形ABCD的內切圓，得第二個圓，再作第二個圓的內接正四邊形A1B1C1D1，又作正四邊形A1B1C1D1的內切圓，得第三個圓…，如此下去，則第六個圓的半徑為_____．

10．（2017·天津和平·初三一模）如圖，正方形ABCD內接于⊙O，其邊長為4，則⊙O的內接正三角形EFG的邊長為_____．

11．（2020·全國初三課時練習）如圖，

O是正方形ABCD與正六邊形AEFCGH的外接圓．

?1?正方形ABCD與正六邊形AEFCGH的邊長之比為______； ?2?連接BE，BE是否為

O的內接正n邊形的一邊？如果是，求出n的值；如果不是，請說明理由．

考點5：正多邊形的圖形變換問題

典例： （2019·江蘇六合·初三月考）已知正方形MNOK和正六邊形ABCDEF邊長均為2，把正方形放在正六邊形中，使OK邊與AB邊重合，如圖所示，按下列步驟操作：將正方形在正六邊形中繞點B順時針旋轉，使KM邊與BC邊重合，完成第一次旋轉；再繞點C順時針旋轉，使MN邊與CD邊重合，完成第二次旋轉；…在這樣連續(xù)6次旋轉的過程中，點B，M之間距離的最小值是_____．

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方法或規(guī)律點撥

本題考查正六邊形、正方形的性質等知識，解題的關鍵作出點M的運動軌跡，利用圖象解決問題，題目有一定的難度． 鞏固練習

1．（2020·江蘇南京·初三一模）如圖，將正六邊形ABCDEF繞點D逆時針旋轉27°得正六邊形A′B′C′DE′F′，則∠1＝___°．

2．（2020·全國初三課時練習）如圖，在一張正六邊形紙片中剪下兩個全等的直角三角形（陰影部分），拼成一個四邊形，若拼成的四邊形的面積為2，則紙片的剩余部分拼成的五邊形的面積為（ ）

A．5 B．6 C．8 D．10

3．（2020·全國初三課時練習）如圖，邊長為3的正五邊形ABCDE，頂點A、B在半徑為3的圓上，其他各點在圓內，將正五邊形ABCDE繞點A逆時針旋轉，當點E第一次落在圓上時，則點C轉過的度數為（ ）

A．12° B．16° C．20° D．24°

4．（2020·福建省泉州實驗中學初一期中）如圖，若干相同正五邊形排成環(huán)狀．圖中已經排好前3個五邊形，

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還需（ ）個五邊形完成這一圓環(huán)．

A．6 B．7 C．8 D．9

5．（2020·河北灤州·初三一模）如圖，將正五邊形繞中心O順時針旋轉a角度，與原正五邊形構成新的圖形，若要使該圖形既是軸對稱又是中心對稱圖形，則a的最小角度為（ ）

A．30 B．36 C．72 D．90

6．（2019·湖北洪山·初三期中）下列正多邊形中，繞其中心旋轉72°后，能和自身重合的是（ ） A．正方形 C．正六邊形

B．正五邊形 D．正八邊形

7．（2020·浙江余杭·育海外國語學校初三一模）已知正方形MNOK和正六邊形ABCDEF邊長均為1，把正方形放在正六邊形中，使OK邊與AB邊重合，如圖所示：按下列步驟操作：將正方形在正六邊形中繞點B順時針旋轉，使KM邊與BC邊重合，完成第一次旋轉；再繞點C順時針旋轉，使MN邊與CD邊重合，完成第二次旋轉……連續(xù)經過六次旋轉．在旋轉的過程中，當正方形和正六邊形的邊重合時，點B，M間的距離可能是（ ）

A．0.5 B．0.7

C．2﹣1

D．3﹣1

8．（2020·浙江臨安·初三期末）如圖，CD是⊙O的弦，O是圓心，把⊙O的劣弧沿著CD對折，A是對折后劣弧上的一點，∠CAD=100°，則∠B的度數是（ ）

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A．100° B．80° C．60° D．50°

9．（2019·河北遷安·初三一模）如圖，將邊長為5的正六邊形ABCDEF沿直線MN折疊，則圖中陰影部分周長為（ ）

A．20 B．24 C．30 D．35

10．（2020·江蘇鎮(zhèn)江市索普初級中學月考）如圖，AB為⊙O的直徑，點C為圓上一點，∠BAC＝20°，將劣弧AC沿弦AC所在的直線翻折，交AB于點D，則弧AD的度數等于（ ）

A．40° B．50 C．80° D．100

11．（2016·石家莊市第九中學初三二模）如圖，邊長為3的正六邊形ABCDEF的頂點A、B在圓O上，頂點C、D、E、F在該圓內，∠AOB＝36°，將正六邊形ABCDEF繞點A逆時針旋轉，當點F第一次落在圓上時，點E運動的路線長是_____（結果保留π）．

考點6：與正多邊形有關的陰影面積計算

典例：（2019·河北初三二模）如圖在正六邊形ABCDEF中，有兩點P,Q同時、同速從AB中點M出發(fā)，P沿AB?BC?CD?DE?EF方向運動，Q點沿AB方向指向運動，10秒后，兩點與多邊形中心連線及多邊形（延長線）所圍成圖形的面積如圖（陰影部分的面積）有兩部分為S1,S2，則S1,S2之間的數量

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關系是（ ）

A．S1?S2 方法或規(guī)律點撥

B．S1?S2

C．S1S2 D．2S1?S2

本題考查正多邊形與圓，多邊形的面積等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，屬于中考?？碱}型． 鞏固練習

S陰影1．（2019·黑龍江南崗·初三其他）如圖，邊長為a的正六邊形內有兩個三角形（數據如圖），則的值為

S空白（ ）

A．3 B．4 C．5 D．6

2．（2020·浙江湖州·初三二模）如圖，正六邊形ABCDEF的邊長為2，現將它沿AB方向平移1個單位，得到正六邊形A′B′C′D′E′F′，則陰影部分A′BCDE′F′的面積是（ ）

A．33 B．43 C．33 2D．2?3 3．（2020·河北邯鄲·初三其他）如圖，以正六邊形ABCDEF的對角線BD為邊，向右作等邊三角形BDG，若四邊形BCDG的面積為4，則五邊形ABCDEF的面積為（ ）

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A．6 B．8 C．10 D．12

4．（2020·富順第三中學校初三二模）如圖中有兩張型號完全一樣的折疊式飯桌，將正方形桌面邊上的四個弓形翻折起來后，就能形成一個圓形桌面（可以近似看作正方形的外接圓），正方形桌面與翻折成圓形桌面的面積之比最接近（ ）

A．

4 5B．

3 4C．

2 3D．

1 25．（2019·云南官渡·初三二模）如圖，O是正八邊形ABCDEFGH的外接圓，連接AE，CE．若半徑為2，則圖中陰影部分的面積為（ ）．

O的

A．

?2?1 B．??2 C．??4 D．2??1

6．（2019·湖北黃岡·初三）如圖，設ABCDE是正五邊形，五角星ACEBD（陰影部分）的面積為1，設AC與BE的交點為P，BD與CE的交點為Q，則四邊形APQD的面積等于（ ）．

A．5?1 2B．

2 2C．

1 3D．

1 27． 如圖，G，H分別是AB，CD的中點，（2019·福建思明·廈門一中初三一模）正六邊形ABCDEF中，△AGF繞正六邊形的中心經逆時針旋轉后與△CHB重合，則旋轉角度是（ ）

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A．60° B．90° C．120° D．180°

9．（2020·廣西田東·初三一模）如圖，在邊長為2的正八邊形中，把其不相鄰的四條邊均向兩邊延長相交成一個四邊形ABCD，則四邊形ABCD的周長是_____．

10．（2020·河北初三二模）如圖1，將一個正三角形繞其中心最少旋轉60?，所得圖形與原圖的重疊部分是正六邊形；如圖2，將一個正方形繞其中心最少旋轉 45°，所得圖形與原圖形的重疊部分是正八邊形；依此規(guī)律，將一個正七邊形繞其中心最少旋轉______?，所得圖形與原圖的重疊部分是正多邊形．在圖2中，若正方形的邊長為4，則所得正八邊形的面積為_______．

11．（2020·四川省內江市第六中學初三三模）如圖，已知點A、B、C、D均在以BC為直徑的圓上，AD∥BC，AC平分∠BCD，∠ADC=120°，四邊形ABCD的周長為10，則圖中陰影部分的面積為__．

12．（2020·山西壽陽·初三期末）已知正六邊形ABCDEF內接于⊙O，圖中陰影部分的面積為123cm2，則⊙O的半徑為______．

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14．（2019·衡陽市逸夫中學）如圖，已知正六邊形ABCDEF內接于⊙O，圖中陰影部分的面積為123，正六邊形的周長為______．

15．（2020·江蘇銅山·初三期中）如圖一組有規(guī)律的正多邊形，各正多邊形中的陰影部分面積均為a，按此規(guī)律，則第n個正多邊形的面積為______________．

16．（2020·山東濟寧·初三月考）如圖，正六邊形ABCDEF內接于形ABCDEF的面積是__________．

O，若?ADE的面積是4，則正六邊

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