2021年九年級數(shù)學(xué)中考復(fù)習(xí)分類壓軸大題專題：

四邊形綜合（三）

1．問題探究：

小紅遇到這樣一個問題：如圖1，△ABC中，AB＝6，AC＝4，AD是中線，求AD的取值范圍．她的做法是：延長AD到E，使DE＝AD，連接BE，證明△BED≌△CAD，經(jīng)過推理和計算使問題得到解決．

請回答：（1）小紅證明△BED≌△CAD的判定定理是： ； （2）AD的取值范圍是 ； 方法運用：

（3）如圖2，AD是△ABC的中線，在AD上取一點F，連結(jié)BF并延長交AC于點E，使AE＝EF，求證：BF＝AC． （4）如圖3，在矩形ABCD中，且

＝，在BD上取一點F，以BF為斜邊作Rt△BEF，

＝，點G是DF的中點，連接EG，CG，求證：EG＝CG．

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2．點P是平行四邊形ABCD的對角線AC所在直線上的一個動點（點P不與點A、C重合），分別過點A、C向直線BP作垂線，垂足分別為點E、F．點O為AC的中點． （1）如圖1，當(dāng)點P與點O重合時，線段OE和OF的關(guān)系是 ；

（2）當(dāng)點P運動到如圖2所示的位置時，請在圖中補全圖形并通過證明判斷（1）中的結(jié)論是否仍然成立？

（3）如圖3，點P在線段OA的延長線上運動，當(dāng)∠OEF＝30°時，試探究線段CF、AE、

OE之間的關(guān)系．

3．在矩形ABCD的CD邊上取一點E，將△BCE沿BE翻折，使點C恰好落在AD邊上點F處． （1）如圖1，若BC＝2BA，求∠CBE的度數(shù)；

（2）如圖2，當(dāng)AB＝5，且AF?FD＝10時，求BC的長；

（3）如圖3，延長EF，與∠ABF的角平分線交于點M，BM交AD于點N，當(dāng)NF＝AN+FD時，求

的值．

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4．在正方形ABCD中，線段EF交對角線AC于點G．

（1）如圖1，若點E、F分別在AB、CD邊上，且AE＝CF，求證：FG＝EG；

（2）如圖2，若點E在AB邊上，點F在BC邊的延長線上，且AE＝CF．（1）中結(jié)論是否依然成立？請說明理由；

（3）在（2）的條件下，連結(jié)DG并延長交BC于點H，若BH＝5，BE＝12．求正方形ABCD的面積．

5．如圖1，將矩形OABC放在直角坐標(biāo)系中，O為原點，點C在x軸上，點A在y軸上，OA＝4，OC＝8．把矩形OABC沿對角線OB所在直線翻折，點C落到點D處，OD交AB于點E． （1）求點E坐標(biāo)．

（2）如圖2，過點D作DG∥BC，交OB于點G，交AB于點H，連接CG，試判斷四邊形BCGD的形狀，并說明理由．

（3）在（2）的條件下，點M是坐標(biāo)軸上一點，直線OB上是否存在一點N，使以O(shè)、D、

M、N為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出點N坐標(biāo)；若不存在，請說明

理由．

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6．如圖①，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，P、Q是對角線BD上的兩個動點，點P從點D出發(fā)沿BD方向以1cm/s的速度向點B運動，運動終點為B；點Q從點B出發(fā)沿著BD的方向以2cm/s的速度向點D運動，運動終點為D．兩點同時出發(fā)，設(shè)運動時間為x（s），以A、Q、C、P為頂點的圖形面積為y（cm2），y與x的函數(shù)圖象如圖②所示，根據(jù)圖象回答下列問題：

（1）BD＝ ，a＝ ；

（2）當(dāng)x為何值時，以A、Q、C、P為頂點的圖形面積為4

cm2？

（3）在整個運動的過程中，若△AQP為直角三角形，請直接寫出符合條件的所有x的值： ．

7．在矩形ABCD中，連結(jié)AC，點E從點B出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿著B→A的路徑運動，運動時間為t（秒）．以BE為邊在矩形ABCD的內(nèi)部作正方形BEHG．

（1）如圖，當(dāng)四邊形ABCD為正方形且點H在△ABC的內(nèi)部，連結(jié)AH，CH，求證：AH＝

CH；

（2）經(jīng)過點E且把矩形ABCD面積平分的直線有 條；

（3）當(dāng)AB＝9，BC＝12時，若直線AH將矩形ABCD的面積分成1：3兩部分，求t的值．

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8．在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，有很多典型的基本圖形．

（1）如圖①，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直線l經(jīng)過點A，BD⊥直線l，CE⊥直線l，垂足分別為D、E．試說明△ABD≌△CAE：

（2）如圖②，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點D、A、F在同一條直線上，BD⊥DF，

AD＝3，BD＝4．則菱形AEFC面積為 ；

（3）如圖③，分別以Rt△ABC的直角邊AC、AB向外作正方形ACDE和正方形ABFG，連接

EG，AH是△ABC的高，延長HA交EG于點I，若AB＝6，AC＝8，求AI的長度．

9．定義：如果四邊形的一條對角線的中點到另外兩個頂點的距離都等于這條對角線的長一半，那么我們稱這樣的四邊形為“等距四邊形”．

（1）在下列圖形中：①等腰梯形、②矩形、③菱形，是“等距四邊形”的是 ．（填序號）

（2）如圖1，在菱形ABCD中，AB＝4，∠A＝60°，BE⊥CD于點E，點F是菱形ABCD邊上的一點，順次連接B、E、D、F，若四邊形BEDF為“等距四邊形”，求線段EF的長． （3）如圖2，已知等邊△ABC邊長為4，點P是△ABC內(nèi)一點，若過點P可將△ABC恰好分割成三個“等距四邊形”，求這三個“等距四邊形”的周長和．

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10．?ABCD中，AE⊥BC于E，且AD＝AE．

（1）如圖1，連結(jié)DE，過A作AF⊥AB交ED于F，在AB上截取AG＝AF，連結(jié)DG，點H為GD中點，連接AH，求證：4AH2+DF2＝2AF2；

（2）如圖2，連結(jié)BD，把△ABD沿直線BD方向平移，得到△A′B′D′，若CD＝

，

EC＝2，求在平移過程中A'C+B'C的最小值．

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參

1．解：（1）∵AD是中線， ∴BD＝CD，

又∵∠ADC＝∠BDE，AD＝DE， ∴△BED≌△CAD（SAS）， 故答案為：SAS； （2）∵△BED≌△CAD， ∴AC＝BE＝4，

在△ABE中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE， ∴2＜2AD＜10， ∴1＜AD＜5， 故答案為：1＜AD＜5；

（3）如圖2，延長AD至H，使AD＝DH，連接BH，

∵AD是△ABC的中線， ∴BD＝CD，

又∵∠ADC＝∠BDH，AD＝DH，

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∴△ADC≌△HDB（SAS）， ∴AC＝BH，∠CAD＝∠H， ∵AE＝EF， ∴∠EAF＝∠AFE， ∴∠H＝∠BFH， ∴BF＝BH， ∴AC＝BF；

（4）如圖3，延長CG至N，使NG＝CG，連接EN，CE，NF，

∵點G是DF的中點， ∴DG＝GF，

又∵∠NGF＝∠DGC，CG＝NG， ∴△NGF≌△CGD（SAS）， ∴CD＝NF，∠CDB＝∠NFG， ∵

＝

，

＝，

∴tan∠ADB＝，tan∠EBF＝， ∴∠ADB＝∠EBF， ∵AD∥BC， ∴∠ADB＝∠DBC， ∴∠EBF＝∠DBC， ∴∠EBC＝2∠DBC，

∵∠EBF+∠EFB＝90°，∠DBC+∠BDC＝90°，

∴∠EFB＝∠BDC＝∠NFG，∠EBF+∠EFB+∠DBC+∠BDC＝180°，∴2∠DBC+∠EFB+∠NFG＝180°， 又∵∠NFG+∠BFE+∠EFN＝180°，

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∴∠EFN＝2∠DBC， ∴∠EBC＝∠EFN， ∵＝

，且CD＝NF，

∴

∴△BEC∽△FEN， ∴∠BEC＝∠FEN， ∴∠BEF＝∠NEC＝90°， 又∵CG＝NG， ∴EG＝NC， ∴EG＝GC．

2．解：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴AO＝CO，

又∵∠AEO＝∠CFO＝90°，∠AOE＝∠COF， ∴△AEO≌△CFO（AAS）， ∴OE＝OF， 故答案為：OE＝OF； （2）補全圖形如圖所示，

結(jié)論仍然成立， 理由如下：

延長EO交CF于點G， ∵AE⊥BP，CF⊥BP， ∴AE∥CF， ∴∠EAO＝∠GCO， ∵點O為AC的中點，

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∴AO＝CO， 又∵∠AOE＝∠COG， ∴△AOE≌△COG（AAS）， ∴OE＝OG， ∵∠GFE＝90°， ∴OE＝OF；

（3）點P在線段OA的延長線上運動時，線段CF、AE、OE之間的關(guān)系為OE＝CF+AE， 證明如下：如圖，延長EO交FC的延長線于點H，

由（2）可知△AOE≌△COH， ∴AE＝CH，OE＝OH，

又∵∠OEF＝30°，∠HFE＝90°， ∴HF＝EH＝OE， ∴OE＝CF+CH＝CF+AE．

3．解：（1）∵四邊形ABCD是矩形， ∴∠C＝90°，

∵將△BCE沿BE翻折，使點C恰好落在AD邊上點F處， ∴BC＝BF，∠FBE＝∠EBC，∠C＝∠BFE＝90°， ∵BC＝2AB， ∴BF＝2AB， ∴∠AFB＝30°， ∵四邊形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，

∴∠AFB＝∠CBF＝30°，

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∴∠CBE＝∠FBC＝15°；

（2）∵將△BCE沿BE翻折，使點C恰好落在AD邊上點F處， ∴∠BFE＝∠C＝90°，CE＝EF， 又∵矩形ABCD中，∠A＝∠D＝90°， ∴∠AFB+∠DFE＝90°，∠DEF+∠DFE＝90°， ∴∠AFB＝∠DEF， ∴△FAB∽△EDF， ∴

，

∴AF?DF＝AB?DE， ∵AF?DF＝10，AB＝5， ∴DE＝2，

∴CE＝DC﹣DE＝5﹣2＝3， ∴EF＝3， ∴DF＝＝＝

，

∴AF＝

＝2

，

∴BC＝AD＝AF+DF＝2

＝3

． （3）過點N作NG⊥BF于點G，

∵NF＝AN+FD， ∴NF＝AD＝BC， ∵BC＝BF， ∴NF＝BF，

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∵∠NFG＝∠AFB，∠NGF＝∠BAF＝90°， ∴△NFG∽△BFA， ∴

，

設(shè)AN＝x，

∵BN平分∠ABF，AN⊥AB，NG⊥BF， ∴AN＝NG＝x，AB＝BG＝2x， 設(shè)FG＝y(tǒng)，則AF＝2y， ∵AB2+AF2＝BF2，

∴（2x）2+（2y）2＝（2x+y）2， 解得y＝x． ∴BF＝BG+GF＝2x+x＝

x．

∴＝．

4．（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形， ∴AB∥CD， ∴∠EAG＝∠FCG，

又∵∠FGC＝∠AGE，AE＝CF， ∴△CFG≌△AEG（AAS）， ∴FG＝EG；

（2）（1）中結(jié)論依然成立．

理由如下：

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如圖2，過點E作EM⊥AB交AC于點M， ∵四邊形ABCD是正方形， ∴∠CAB＝45°，∠ABC＝90°， ∴∠MAE＝∠AME＝45°， ∴AE＝EM， 又∵AE＝FC， ∴EM＝CF， ∵∠AEM＝∠ABC， ∴ME∥CF， ∴∠MEG＝∠GFC， 又∵∠MGE＝∠FGC， ∴△MEG≌△CFG（AAS）， ∴EG＝FG；

（3）解：如圖3，連接DE，DF，EH，

∵正方形ABCD中，∠DAE＝∠DCB＝90°，DC＝AD，∴∠DAE＝∠DCF＝90°， 又∵AE＝CF，

∴△ADE≌△DCF（SAS）， ∴DE＝DF， 由（2）知EG＝GF， ∴DG⊥EF，

∴DH是EF的中垂線，

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∴EH＝FH， ∵BE＝12，BH＝5， ∴EH＝＝

＝13，

∴FH＝13，

設(shè)AE＝x，則CF＝x， ∴AB＝CB＝12+x， ∴CH＝7+x，

∴FH＝CF+CH＝x+7+x＝2x+7， ∴2x+7＝13， 解得x＝3， ∴AB＝15，

∴正方形ABCD的面積為225． 5．解：（1）如圖1中，

∵四邊形OABC是矩形， ∴AB＝OC＝8，AB∥OC， ∴∠ABO＝∠BOC，

由翻折可知，∠BOC＝∠BOD， ∴∠EOB＝∠EBO，

∴EO＝BE，設(shè)AE＝x，則EB＝EO＝8﹣x， 在Rt△OAE中，∵∠OAE＝90°， ∴OA2+AE2＝OE2， ∴42+x2＝（8﹣x）2，

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∴x＝3， ∴E（3，4）．

（2）如圖2中，四邊形BCGD是菱形．

∵DG∥BC， ∴∠DGB＝∠CBG，

由翻折的性質(zhì)可知，∠CBG＝∠DBG，BC＝BD， ∴∠DGB＝∠DBG， ∴DG＝BD＝BC， ∵DG∥BC，

∴四邊形BCGD是平行四邊形， ∵BD＝BC，

∴四邊形BCGD是菱形．

（3）當(dāng)點N與G重合，點M與A重合，四邊形DM1ON1是平行四邊形，∵DH＝＝

， ∴EH＝＝＝，

∴AH＝3+＝， ∴D（

，

），N1（

，

），

當(dāng)四邊形ODN1M是平行四邊形時，N1（，

）， 當(dāng)四邊形ODN2M2是平行四邊形時，N2（

），

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當(dāng)四邊形ODM1N3是平行四邊形時，N3（（﹣當(dāng)四邊形ODM4N4是平行四邊形時，N4（﹣

，﹣，﹣

）， ）

綜上所述，滿足條件的點N的坐標(biāo)為N1（﹣

），N4（﹣

，﹣

）．

，

），N2（

，

），N3（（﹣

，

6．解：（1）如圖①中，連接AC交BD于點O．

由題意：點N的實際意義表示x＝3時，點Q運動到點D， ∴BD＝2×3＝6，

∵四邊形ABCD是菱形，∠ABC＝60°， ∴∠ABD＝∠ADB＝30°，OB＝OD＝3， ∴OA＝OC＝

，AB＝2AO＝2

，

＝6

．

∴S菱形ABCD＝×BD×AC＝×6×2∴a＝6

，

；

故答案為：6，6

（2）設(shè)x秒后P，Q相遇．則3x＝6，x＝2， ∴M（2，0），

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∴直線EM的解析式為：y＝﹣3當(dāng)y＝4∵N（3，3

時，x＝， ），F(xiàn)（6，6

x+6，

），

∴直線NF的解析式為y＝當(dāng)y＝4

時，x＝4，

x，

綜上所述，滿足條件的x的值為s或4s；

（3）a：當(dāng)0≤x≤3時，PQ＝（6﹣3x）2，AQ2＝3+（3﹣2x）2，AP2＝3+（3﹣x）2， ①當(dāng)∠PAQ＝90°時，PQ2＝AP2+AQ2， （6﹣3x）2＝3+（3﹣x）2+3+（3﹣2x）2， 解得x＝

或

（舍去），

②當(dāng)∠APQ＝90°時，AP2+PQ2＝AQ2， 即3+（3﹣x）2+（6﹣3x）2＝3+（3﹣2x）2， 解得x＝2或x＝3，

③當(dāng)∠AQP＝90°時，AP2＝PQ2+AQ2， 即3+（3﹣x）2＝（6﹣3x）2+3+（3﹣2x）2， 解得：x＝2（不合題意，舍去），x＝，

b：3＜x≤6時，此時Q已經(jīng)到達終點，所以，AQ2＝（2

＝3+（x﹣3）2， 此時，∠AQP＝30°，

∴當(dāng)∠APQ＝90°時，AQ2＝AP2+PQ2， 即12＝x2+3+（x﹣3）2， 解得：x＝3或0（舍去） 當(dāng)∠PAQ＝90°時，PQ2＝AP2+AQ2， 即x2＝12+3+（x﹣3）2， 解得：x＝4，

綜上所述，滿足條件的x的值為

或或3或4，

）2＝12，此時PQ2＝x2，AP2

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故答案為：或或3或4．

7．（1）證明：∵四邊形ABCD、四邊形BEHG是正方形， ∴AB＝BC，BE＝BG＝EH＝GH，∠B＝∠BEH＝∠BGH＝90°， ∴AB﹣BE＝BC﹣BG，∠AEH＝∠CGH＝90°， ∴AE＝CG， 在△AEH和△CGH中，∴△AEH≌△CGH（SAS）， ∴AH＝CH；

（2）解：連接BD交AC于O，如圖1所示： 作直線OE，則直線OE矩形ABCD面積平分， 即經(jīng)過點E且把矩形ABCD面積平分的直線有1條， 故答案為：1； （3）解：分兩種情況：

①如圖2所示：連接AH交BC于M， ∵四邊形ABCD是矩形， ∴△ABC的面積＝△ADC的面積，

∵直線AH將矩形ABCD的面積分成1：3兩部分， ∴△ABM的面積＝△ACM的面積， ∴BM＝CM＝BC＝6，

由題意得：BE＝BG＝EH＝GH＝t，則AE＝9﹣t，GM＝6﹣t， ∵△ABM的面積＝△AEH的面積+正方形BEHG的面積+△GHM的面積， ∴×6×9＝x（9﹣t）+t2+t（6﹣t）， 解得：t＝

；

，

②如圖3所示：連接AH交CD于M，交BC的延長線于K， ∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠MCK＝∠B＝∠D＝∠BCD＝90°，AD＝BC＝12，CD＝AB＝9，△ABC的面積＝△ADC的面積，

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∵直線AH將矩形ABCD的面積分成1：3兩部分， ∴△ADM的面積＝△ACM的面積， ∴DM＝CM＝CD＝，

在△KCM和△ADM中，，

∴△KCM≌△ADM（ASA）， ∴CK＝DA＝12， ∴BK＝BC+CK＝24，

由題意得：BE＝BG＝EH＝GH＝t，則AE＝9﹣t，GK＝24﹣t， ∵△ABK的面積＝△AEH的面積+正方形BEHG的面積+△GHK的面積， ∴×24×9＝t（9﹣t）+t2+t（24﹣t）， 解得：t＝

；

綜上所述，若直線AH將矩形ABCD的面積分成1：3兩部分，t的值為

或

．

8．（1）證明：∵BD⊥直線l，CE⊥直線l， ∴∠BDA＝∠CEA＝90°，

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∵∠BAC＝90°， ∴∠BAD+∠CAE＝90° ∵∠BAD+∠ABD＝90°， ∴∠CAE＝∠ABD 在△ABD和△CAE中，，

∴△ABD≌△CAE（AAS）；

（2）解：連接CE，交AF于O，如圖②所示： ∵四邊形AEFC是菱形， ∴CE⊥AF，

∴∠COA＝∠ADB＝90°，

同（1）得：△ABD≌△CAO（AAS）， ∴OC＝AD＝3，OA＝BD＝4， ∴S△AOC＝OA?OC＝×4×3＝6， ∴S菱形AEFC＝4S△AOC＝4×6＝24， 故答案為：24；

（3）解：過E作EM⊥HI的延長線于M，過點G作GN⊥HI于N，如圖③所示：∴∠EMI＝∠GNI＝90°，

∵四邊形ACDE和四邊形ABFG都是正方形， ∴∠CAE＝∠BAG＝90°，AC＝AE＝8，AB＝AG＝6，

同（1）得：△ACH≌△EAM（AAS），△ABH≌△GAN（AAS）， ∴EM＝AH＝GN， 在△EMI和△GNI中，， ∴△EMI≌△GNI（AAS）， ∴EI＝GI， ∴I是EG的中點，

∵∠CAE＝∠BAG＝∠BAC＝90°， ∴∠EAG＝90°，

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在Rt△EAG中，由勾股定理得：EG＝∵I是EG的中點， ∴AI＝EG＝×10＝5．

＝＝10，

9．解：（1）①等腰梯形對角線相等，但一條對角線的中點到另外兩個頂點的距離的和大于另一條對角線，不符合題意；

②矩形的對角線相等且互相平分，一條對角線的中點到另外兩個頂點的距離等于這條對角線的一半，符合題意；

③菱形的對角線互相平分，對角線不一定相等，因此一條對角線的中點到另外兩個頂點的距離不等于另一條對角線的一半，不符合題意； 故答案為：②；

（2）根據(jù)等距四邊形的定義，

當(dāng)點F在AD上且BF⊥AD時，四邊形BFDE是等距四邊形，如圖1， 取BD的中點O，連接OF，OE，EF， ∵BF⊥AD，BE⊥DC， ∴∠BFD＝∠BED＝90°，

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∴OF＝OE＝BD，

∴四邊形BFDE是等距四邊形，

在菱形ABCD中，AB＝4，∠A＝60°，AD∥BC， ∴∠C＝∠A＝60°，∠ABC＝120°， ∴∠ABF＝∠CBE＝30°，

∴∠EBF＝∠ABC﹣∠ABF﹣∠CBE＝60°， 根據(jù)菱形的對稱性得，BF＝BE， ∴△BEF是等邊三角形， 在Rt△ABF中，∠ABF＝30°， ∴AF＝AB＝2， 根據(jù)勾股定理得，BF＝2∴EF＝BF＝2

，

，

當(dāng)點F在AB上且DF⊥AB時，四邊形DFBE是等距四邊形，如圖1﹣1， 連接BD，EF，交于點O， ∵DF⊥AB，DE⊥CD， ∴∠BFD＝∠BED＝90°， ∵AB∥CD，

∴∠FBE＝180°﹣∠BED＝90°， ∴∠BFD＝∠BED＝∠FBE， ∴四邊形BFDE是矩形，

∴BD＝EF，在菱形ABCD中，AB＝AD＝4，∠A＝60°， ∴BD＝AB＝4， ∴EF＝4；

（3）過點P分別作PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，PF⊥AC于F，如圖2，

同（2）的方法得，四邊形ADPF，四邊形BEPD，四邊形ECFP是等距四邊形，過點A作AG⊥BC于G，

在Rt△ABG中，∠ABC＝60°，AB＝4， ∴∠BAG＝30°，

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∴BG＝AB＝2， 根據(jù)勾股定理得，AG＝2

，

＝4，

， ，

∴S△ABC＝BC?AG＝×4×2∴S△ABC＝S△APB+S△BPC+S△APC＝4

∴（AB?PD+BC?PE+AC?PF）＝4∵AB＝BC＝AC＝4， ∴PD+PE+PF＝2

∴四邊形ADPF，四邊形DBEP，四邊形PEFC的周長的和為AB+BC+AC+2（PD+PE+PF）＝12+4

．

10．（1）證明：如圖1中，延長AH交CD于T，連接EG，GF．

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ABCD是平行四邊形， AB∥CD， AGH＝∠TDH， AHG＝∠THD，HG＝HD， AHG≌△THD（ASA）， AH＝TH，AG＝DT， AE⊥BC，AD∥BC， AE⊥AD， AF⊥AG， EAD＝∠GAF． GAE＝∠FAD， AD＝AE，AF＝AG， GAE≌△FAD（SAS）， DF＝GE，∠AEG＝∠ADE＝45°， AED＝45°， GEF＝90°， EG2+EF2＝FG2＝2AF2，

BAE+∠B＝90°，∠BAE+∠EAF＝90°， B＝∠EAF， B＝∠ADT， EAF＝∠ADT， AG＝AF，AG＝DT， AF＝DT，

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∵四邊形∴∴∠∵∠∴△∴∵∴∵∴∠∴∠∵∴△∴∵∠∴∠∴∵∠∴∠∵∠∴∠∵∴初中數(shù)學(xué)精品教學(xué)

∵AE＝AD，

∴△EAF≌△ADT（SAS）， ∴EF＝AT＝2AH， ∴DF2+4AH2＝2AF2．

（2）如圖2中，

∵A′B′＝CD，A′B′∥AB∥CD， ∴四邊形A′B′CD是平行四邊形， ∴A′D＝B′C，

∴A'C+B'C的最小值＝A′C+A′D的最小值， ∵點A′在過點A且平行于BD的定直線上， ∴作點D關(guān)于定直線的對稱點E，

∵A′C+B′C＝A′C+A′D＝A′C+A′E≥CE，則CE的長度即為A'C+B'C的最小值， 過點E作EH⊥BC于H，交AD于J，過點A作AT⊥BD于T，設(shè)DE交AA′于K，過點C作

CR⊥AD于R．

∵∠AEC＝∠EAR＝∠ARC＝90°， ∴四邊形AECR是矩形， ∴AR＝EC＝2，設(shè)AE＝AD＝x，

在Rt△CRD中，則有x2+（x﹣2）2＝10， 解得x＝3或﹣1（舍棄）， ∴AD＝AE＝BC＝3，BE＝BC﹣EC＝1，

過點B作BQ⊥DA交DA的延長線于Q，則AQ＝BE＝1，DQ＝AQ+AD＝4，BQ＝AE＝3， ∴BD＝

＝

＝5，

∵S△ABD＝?BD?AT＝?AD?BQ， ∴AT＝，

∵四邊形ATDK是矩形， ∴DK＝AT＝KD′＝， 在Rt△ADK中，AK＝

＝

＝

，

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∵S△ADE＝?AD?EJ＝?DE?AK， ∴EJ＝

，

在Rt△DJD′中，DJ＝＝

，

∴AJ＝EH＝AD﹣DJ＝3﹣＝，

∴CH＝EC﹣EH＝2﹣＝

， ∵EH＝EJ+JH＝

+3＝

，

在Rt△CEH中，CE＝＝

，∴A'C+B'C的最小值為

．

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