知識(shí)梳理：

一、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

1．平面內(nèi)到定點(diǎn)距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合(軌跡)是圓，定點(diǎn)是圓心，定長(zhǎng)是半徑． 2．確定圓的幾何要素：

(1)不共線三點(diǎn)確定一個(gè)圓，圓心在任意兩點(diǎn)連線段的中垂線上，三點(diǎn)確定的三角形叫該圓的內(nèi)接三角形，該圓叫做這個(gè)三角形的外接圓，圓心叫做三角形的外心．

(2)圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大小，只要圓心和半徑確定下來(lái)，圓也就確定下來(lái)了，因此求圓的方程必須具備三個(gè)條件．

3．圓心為(a，b)半徑為r(r>0)的圓的方程為：(x－a)＋(y－b)＝r，稱(chēng)作圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．特別地，圓心在原點(diǎn)、半徑為r的圓方程為x＋y＝r. 4．點(diǎn)P(x0，y0)與圓(x－a)＋(y－b)＝r的位置關(guān)系．

2

2

22

2

2

2

2

2

P在圓外?(x0－a)2＋(y0－b)2>r2， P在圓上?(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2， P在圓內(nèi)?(x0－a)2＋(y0－b)2二、圓的一般方程

?D?2?E?2D＋E－4F.

1．圓的一般方程x＋y＋Dx＋Ey＋F＝0，配方得?x＋?＋?y＋?＝

4?2??2?

2

2

22

E?122?D22

(1)當(dāng)D＋E－4F>0時(shí)，方程表示以?－，－?為圓心，D＋E－4F為半徑的圓；

2?2?2

??22

(2)當(dāng)D＋E－4F＝0時(shí)，方程表示一個(gè)點(diǎn)?－，－?；

2??2

(3)當(dāng)D＋E－4F<0 時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)解，它不表示任何圖形．

2．二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圓的條件是：A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4F>0 .

3．點(diǎn)P(x0，y0)與圓x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)的位置關(guān)系是： P在圓內(nèi)?P在圓上? P在圓外?

4．求軌跡方程的五個(gè)步驟：

(1)建系：建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，用(x，y)表示曲線上任意一點(diǎn)M的坐標(biāo)； (2)設(shè)點(diǎn)：寫(xiě)出適合條件P的點(diǎn)M的集合P＝{M|p(M)}； (3)列式：用坐標(biāo)(x，y)表示條件p(M)，列出方程F(x，y)＝0； (4)化簡(jiǎn)：化方程F(x，y)＝0為最簡(jiǎn)形式；

(5)查漏、剔假：證明以化簡(jiǎn)后的方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn)．

， ， .

2

2

DE

典型例題：

類(lèi)型一 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

例1：寫(xiě)出下列方程表示的圓的圓心和半徑．

2222

(1)x＋y＝2； (2)(x－3)＋y＝4；

2222

(3)x＋(y－1)＝9； (4)(x＋1)＋(y＋2)＝8.

練習(xí)1：已知圓的方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，試根據(jù)下列條件，分別寫(xiě)出a、b、r應(yīng)滿足的條件：

(1)圓心在x軸上； (2)圓與y軸相切；

(3)圓過(guò)原點(diǎn)且與y軸相切； (4)圓與兩坐標(biāo)軸均相切．

練習(xí)2：已知圓C的方程為?x?5???y?6??10，試判斷點(diǎn)M?6,9?,N?3,3?,Q?5,3?是在圓上，

22圓內(nèi)，還是在圓外？

例2：過(guò)兩點(diǎn)P(2,2)、Q(4,2)，且圓心在直線x－y＝0上的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是( )

2222

A．(x－3)＋(y－3)＝2 B．(x＋3)＋(y＋3)＝2

C．(x－3)＋(y－3)＝2 D．(x＋3)＋(y＋3)＝2

練習(xí)1：求經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(10,5)、B(－4,7)，半徑為10的圓的方程．

練習(xí)2：求滿足下列條件的方程

2

2

2

2

（1）圓心在原點(diǎn)，半徑是3； （2）圓心在點(diǎn)C?3,4?上，半徑半徑是5； （3）圓心在直線5x?3y?8上，又圓與坐標(biāo)軸相切

練習(xí)3：求以A(2,2)、B(5,3)、C(3，－1)為頂點(diǎn)的三角形的外接圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．

類(lèi)型二 圓的一般方程

2222

例3：m是什么實(shí)數(shù)時(shí)，關(guān)于x、y的方程(2m＋m－1)x＋(m－m＋2)y＋m＋2＝0表示一個(gè)圓？

222

練習(xí)1：已知方程x＋y＋2mx－2y＋m＋5m＝0表示圓，求： (1)實(shí)數(shù)m的取值范圍； (2)圓心坐標(biāo)和半徑．

練習(xí)2：x?y?x?y?R?0表示一個(gè)圓，則R的取值范圍是（ ） A．???,2 B．???,2? C．???,22???1?1????, D． ???2?2??

例4：已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)為A(1,4)、B(－2，3)、C(4，－5)，求△ABC的外接圓的一般方程．

練習(xí)1：求過(guò)點(diǎn)C(－1,1)和D(1,3)且圓心在直線y＝x上的圓的一般方程．

練習(xí)2：?ABC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A??1,5?,B??2,?2?,C?5,5?，求其外接圓的方程．

例5：等腰三角形的頂點(diǎn)是A(4,2)，底邊一個(gè)端點(diǎn)是B(3,5)，求另一個(gè)端點(diǎn)C的軌跡方程，并說(shuō)明它的軌跡是什么．

練習(xí)2：已知?jiǎng)狱c(diǎn)M到定點(diǎn)?8,0?的距離等于M到?2,0?的距離的2倍，那么點(diǎn)M的軌跡方程是（ ）

A．x?y?32 B．x?y?16

C．?x?1??y2?16 D．x2??y?1??16

222222小練習(xí)：

1．已知圓的方程是(x－2)2＋(y－3)2＝4，則點(diǎn)P(3,2)滿足( )

A．是圓心 B．在圓上

C．在圓內(nèi) D．在圓外 2．圓(x＋1)2＋(y－2)2＝4的圓心坐標(biāo)和半徑分別為( )

A．(－1,2)，2 B．(1，－2)，2 C．(－1,2)，4 D．(1，－2)，4

3．已知A(3，－2)，B(－5,4)，則以AB為直徑的圓的方程是( )

A．(x－1)2＋(y＋1)2＝25 B．(x＋1)2＋(y－1)2＝25 C．(x－1)2＋(y＋1)2＝100 D．(x＋1)2＋(y－1)2＝100

1

4．圓x2＋y2－2x＋y＋＝0的圓心坐標(biāo)和半徑分別是( )

4

11

A．(－1，)；1 B．(1，－)；1

221616C．(1，－)； D．(－1，)； 2222

5．方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圓，則a的范圍是( )

22

A．a(chǎn)<－2或a> B．－33

2

C．－23

6．圓x2＋y2－2x＋6y＋8＝0的周長(zhǎng)等于( )

A.2π C．22π

B．2π D．4π

7. 若點(diǎn)P(－1，3)在圓x2＋y2＝m2上，則實(shí)數(shù)m＝________.

8. 點(diǎn)P(1，－2)和圓C：x2＋y2＋m2x＋y＋m2＝0的位置關(guān)系是________ 9.求經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(5,1)，圓心為點(diǎn)C(8，－3)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．

課后練習(xí)：

1－t2?2t?221．點(diǎn)P?2，1＋t2?與圓x＋y＝1的位置關(guān)系是( ) 1＋t??

A．在圓內(nèi)

C．在圓上

B．在圓外 D．與t有關(guān)

2．圓(x＋2)2＋y2＝5關(guān)于原點(diǎn)(0,0)對(duì)稱(chēng)的圓的方程是( )

A．(x－2)2＋y2＝5 B．x2＋(y－2)2＝5

C．(x＋2)2＋(y＋2)2＝5

D．x2＋(y＋2)2＝5

3．方程2x2＋2y2－4x＋8y＋10＝0表示的圖形是( )

A．一個(gè)點(diǎn) B．一個(gè)圓 C．一條直線 D．不存在

4．已知點(diǎn)P是圓C：x2＋y2＋4x＋ay－5＝0上任意一點(diǎn)，P點(diǎn)關(guān)于直線2x＋y－1＝0的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)在圓C上，則實(shí)數(shù)a等于( )

A．10 B．－10 C．20 D．－20

5．過(guò)點(diǎn)A(1,2)，且與兩坐標(biāo)軸同時(shí)相切的圓的方程為( )

A．(x－1)2＋(y－1)2＝1或(x－5)2＋(y－5)2＝25 B．(x－1)2＋(y－3)2＝2 C．(x－5)2＋(y－5)2＝25 D．(x－1)2＋(y－1)2＝1

6．圓(x＋3)2＋(y－1)2＝25上的點(diǎn)到原點(diǎn)的最大距離是( )

A．5－10

B．5＋10

C.10 D．10

7. 一束光線從點(diǎn)A(－1,1)出發(fā)經(jīng)x軸反射到圓C：x2＋y2－4x－6y＋12＝0上的最短路程是( )

A．4 B．5

C．32－1

D．26

8.經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，圓心在x軸的負(fù)半軸上，半徑等于2的圓的方程是__________________． 9.經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)P(－2,4)、Q(3，－1)，且在x軸上截得的弦長(zhǎng)為6的圓的方程．

10．圓C通過(guò)不同三點(diǎn)P(k,0)、Q(2,0)、R(0,1)，已知圓C在點(diǎn)P的切線的斜率為1，試求圓C的方程．