公開課 教 案 函數(shù)的極值教學(xué)案

教學(xué)目標(biāo)：

1.理解極大值、極小值的概念.

2.能夠運(yùn)用判別極大值、極小值的方法來求函數(shù)的極值. 3.掌握求可導(dǎo)函數(shù)的極值的步驟 一、課前復(fù)習(xí)：

1. 常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式：

C'? ； (xn)'? ； (sinx)'? ； (cosx)'? (lnx)'? ； (logax)'? ；

(ex)'? ； (ax)'?

2.導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則1 [f(x)?g(x)]'? ． 導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則2 [f(x)g(x)]?? ,

[cf(x)]?? ?f(x)?導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則3 ??=?g(x)?/' 3. 函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系：設(shè)函數(shù)y=f(x) 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)有導(dǎo)數(shù)，如果在這個(gè)區(qū)間內(nèi)y>0，那么函數(shù)y=f(x) 在為這個(gè)區(qū)間內(nèi)的 函數(shù)如果在這個(gè)區(qū)間內(nèi)

y/<0，那么函數(shù)y=f(x) 在為這個(gè)區(qū)間內(nèi)的 函數(shù)

4.用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟：① ②令f′(x)＞0解不等式，得x的范圍就是函數(shù)y=f(x) .③令f′(x)＜0解不等式，得x的范圍就是函數(shù)y=f(x) 練習(xí)：求函數(shù)y?x?3x?9x的單調(diào)區(qū)間；

32x y? y 二、講解新課：

1.極大值：如果x0是方程f′(x)=0的一個(gè)根，并且在x0的左側(cè)附近f′(x)＞0，在x0的

右側(cè)附近f′(x)＜0，那么f(x0)是函數(shù)f(x)的一個(gè)極大值， x0是極大值點(diǎn)

2.極小值：如果x0是方程f′(x)=0的一個(gè)根，并且在x0的左側(cè)附近f′(x)＜0，在x0的

1

右側(cè)附近f′(x)＞0，那么f(x0)是函數(shù)f(x)的一個(gè)極小值，x0是極小值點(diǎn) 3.極大值與極小值統(tǒng)稱為極值

在定義中，取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn)，極值點(diǎn)是自變量的值，極值指的是函數(shù)值請(qǐng)注意以下幾點(diǎn)：

（?。O值是一個(gè)局部概念由定義，極值只是某個(gè)點(diǎn)的函數(shù)值與它附近點(diǎn)的函數(shù)值比較是最大或最小并不意味著它在函數(shù)的整個(gè)的定義域內(nèi)最大或最小

（ⅱ）函數(shù)的極值不是唯一的即一個(gè)函數(shù)在某區(qū)間上或定義域內(nèi)極大值或極小值可以不止一個(gè) （ⅲ）極大值與極小值之間無確定的大小關(guān)系即一個(gè)函數(shù)的極大值未必大于極小值，如下圖所示，x1是極大值點(diǎn)，x4是極小值點(diǎn)，而f(x4)>f(x1)

（ⅳ）函數(shù)的極值點(diǎn)一定出現(xiàn)在區(qū)間的內(nèi)部，區(qū)間的端點(diǎn)不能成為極值點(diǎn)而使函數(shù)取得最大值、最小值的點(diǎn)可能在區(qū)間的內(nèi)部，也可能在區(qū)間的端點(diǎn)

yf(x5)f(x3)f(x1)f(x4)ax1x2Of(b)f(x2)f(a)x3x4x5bx

4. 判別f(x0)是極大、極小值的方法:

若x0滿足f?(x0)?0，且在x0的兩側(cè)f(x)的導(dǎo)數(shù)異號(hào)，則x0是f(x)的極值點(diǎn)，，則x0是f(x)的極大值點(diǎn)，f(x0)是極值，并且如果f?(x)在x0兩側(cè)滿足“左正右負(fù)”

，則x0是f(x)的極小值點(diǎn)，f(x0)是極大值；如果f?(x)在x0兩側(cè)滿足“左負(fù)右正”

f(x0)是極小值

5. 求可導(dǎo)函數(shù)f(x)的極值的步驟:

(1)確定函數(shù)的定義區(qū)間，求導(dǎo)數(shù)f(x) (2)求方程f(x)=0的根

2

//

(3)列表辨別：用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)，順次將函數(shù)的定義區(qū)間分成若干小開區(qū)間，并列成表格.檢查f/(x)在方程根左右的值的符號(hào)，如果左正右負(fù)，那么f(x)在這個(gè)根處取得極大值；如果左負(fù)右正，那么f(x)在這個(gè)根處取得極小值；如果左右不改變符號(hào)，那么f(x)在這個(gè)根處無極值 三、講解范例：

例1求y=

131x－4x+的極值 33131x－4x+)′=x2－4=(x+2)(x－2) 33解：y′=(

令y′=0，解得x1=－2，x2=2

當(dāng)x變化時(shí)，y′，y的變化情況如下表

x y? y ???,2? + -2 0 極大值(-2,2) － 2 0 極小值?2,??? + ↗ f(?2) 17 3↘ f(2) ↗ ∴當(dāng)x=－2時(shí)，y有極大值且y極大值=當(dāng)x=2時(shí)，y有極小值且y極小值=－5

y13f(x)=x-4x+432-2Ox

如果函數(shù)在某些點(diǎn)處連續(xù)但不可導(dǎo)，也需要考慮這些點(diǎn)是否是極值點(diǎn) 例2.已知函數(shù)f(x)?alnx?bx?x在x=1和x=2處有極值，求a、b的值.

例3．已知函數(shù)f(x)?x3?3ax2?3(a?2)x?1 既有極大值又有極小值，求實(shí)數(shù)a的取

3

2

值范圍. (??,?1)?(2,??)； 。

例4.函數(shù)f(x)?x3?ax2?bx?a2,在x?1時(shí)有極值10，求a,b的值. 解：f'(x)?3x2?2ax?b,f'(1)?2a?b?3?0,f(1)?a2?a?b?1?10

?2a?b??3?a??3?a?4 ?2，當(dāng)a??3時(shí)，x?1不是極值點(diǎn)， ,?,或?b?3b??11??a?a?b?9?則a,b的值分別4,?11

x例5.求函數(shù)y?ecosx的極值.

解:y??ex?cosx?sinx?,令y??0,?4即cosx?sinx?0得,x?k???k?Z?,3????當(dāng)x??2k??,2k????k?Z?時(shí),y??0,f?x?為增函數(shù),44???5???當(dāng)x??2k??,2k????k?Z?時(shí),y??0,f?x?為減函數(shù),?44?3?當(dāng)x=2k??4?k?Z?時(shí),y極小值?4因此當(dāng)x=2k???k?Z?時(shí),y極大值?22k????e2?22k??43?4.2e,

四、課堂練習(xí)：

1. 求函數(shù)y=x2－7x+6的極值.;

解：y′=(x2－7x+6)′=2x－7

令y′=0，解得x=

7. 27? ????,?2??當(dāng)x變化時(shí)，y′，y的變化情況如下表. x y? y 72 ?7? ?,????2?－ ↘ 0 極小值?+ ↗ 25 4725∴當(dāng)x=時(shí)，y有極小值，且y極小值=－

242. 求函數(shù)y=x3－27x的極值.

4

解：y′=(x3－27x)′=3x2－27=3(x+3)(x－3) 令y′=0，解得x1=－3，x2=3.

當(dāng)x變化時(shí)，y′，y的變化情況如下表 x y? y ???,?3? + ↗ -3 0 極大值 (-3,3) － ↘ 3 0 極小值- ?3,??? + ↗ ∴當(dāng)x=－3時(shí)，y有極大值，且y極大值= 當(dāng)x=3時(shí)，y有極小值，且y極小值=－

3. 函數(shù)f(x)?x3?ax2?3x?9, 已知f(x)在x??3時(shí)取得極值, 則a? 3

131 2b= 。4．函數(shù)y?x3?3ax2?2bx在點(diǎn)x=1處有極小值－1，則a= ，4、,?五、小結(jié) ：函數(shù)的極大、極小值的定義以及判別方法.求可導(dǎo)函數(shù)f(x)的極值的三個(gè)步

驟.還有要弄清函數(shù)的極值是就函數(shù)在某一點(diǎn)附近的小區(qū)間而言的，在整個(gè)定義區(qū)間可能有多個(gè)極值，且要在這點(diǎn)處連續(xù).可導(dǎo)函數(shù)極值點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為0，但導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)，要看這點(diǎn)兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)是否異號(hào).函數(shù)的不可導(dǎo)點(diǎn)可能是極值點(diǎn) 六、課后作業(yè)： 1.求函數(shù)y?1413x?x?x2的極值 432.求函數(shù)y=(x2－1)3+1的極值 解：y′=6x(x2－1)2=6x(x+1)2(x－1)2 令y′=0解得x1=－1，x2=0，x3=1 當(dāng)x變化時(shí)，y′，y的變化情況如下表

x y? y ???,?1? － ↘ -1 0 無極值 (-1,0) － ↘ 0 0 極小值0 (0,1) + ↗ 1 0 無極值 ?1,??? + ↗ ∴當(dāng)x=0時(shí)，y有極小值且y極小值=0 5

yf?x? = ?x2-1?3+1-1O1x

求極值的具體步驟：第一，求導(dǎo)數(shù)f/(x).第二，令f/(x)=0求方程的根，第三，列表，檢查f/(x)在方程根左右的值的符號(hào)，如果左正右負(fù)，那么f(x)在這個(gè)根處取得極大值；如果左負(fù)右正，那么f(x)在這個(gè)根處取得極小值，如果左右都是正，或者左右都是負(fù)，那么f(x)在這根處無極值.

3．已知函數(shù)f(x)=x+ax+bx+a在x=1處有極值為10，則f(2)等于 。

3

2

2

1時(shí), 函數(shù)取得極值, 則m的值為 4. 1 31 3 2

5. 函數(shù)y＝ax＋bx取得極大值或極小值時(shí)的x值分別為0和, 則 5. a?2b＝0 34. 若函數(shù)y＝x－2x＋mx, 當(dāng)x＝

3

2

6、已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)為f?(x)?4x?4x，且圖象過點(diǎn)（0，-5），當(dāng)函數(shù)f(x)取得極大值-5時(shí)，x的值應(yīng)為 6. 0 .

7.已知函數(shù)f(x)?x3?ax2?(a?6)x?1有極大值和極小值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_ 7.答：a?6或a??3） ____

8.函數(shù)f?x??x?ax?bx?a在x?1處有極小值10，則a+b的值為_ 8.答：－7

322315．已知函數(shù)f(x)?134x?x2?3x?，直線l1：9x＋2y＋c＝0．若當(dāng)x∈[－2，2]時(shí)，33函數(shù)y＝f(x)的圖像恒在直線l的下方，則c的取值范圍是

_________c<-6_______________

3227.方程x?6x?9x?10?0的實(shí)根的個(gè)數(shù)為___ 27.答：1） ___；

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