一、整式乘法與因式分解易錯壓軸解答題

1．兩個邊長分別為a和b的正方形如圖放置（圖1），其未疊合部分（陰影）面積為S1；若再在圖1中大正方形的右下角擺放一個邊長為b的小正方形（如圖2），兩個小正方形疊合部分（陰影）面積為S2.

（1）用含a，b的代數式分別表示S1、S2； （2）若a+b＝10，ab＝20，求S1+S2的值；

（3）當S1+S2＝30時，求出圖3中陰影部分的面積S3. 2．某同學利用若干張正方形紙片進行以下操作：

（1）從邊長為a的正方形紙片中減去一個邊長為b的小正方形，如圖1，再沿線段AB把紙片剪開，最后把剪成的兩張紙片拼成如圖2的等腰梯形，這一過程所揭示的公式是________.

（2）先剪出一個邊長為a的正方形紙片和一個邊長為b的正方形紙片，再剪出兩張邊長分別為a和b的長方形紙片，如圖3，最后把剪成的四張紙片拼成如圖4的正方形.這一過程你能發(fā)現什么代數公式？

（3）先剪出兩個邊長為a的正方形紙片和一個邊長為b的正方形紙片，再剪出三張邊長分別為a和占的長方形紙片，如圖5，你能否把圖5中所有紙片拼成一個長方形？ 如果可以，請畫出草圖，并寫出相應的等式.如果不能，請說明理由.

3．如圖，有一個邊長為a的大正方形與兩個邊長均為b的小正方形(a>b)，按如圖1、2所示的方式擺放，設圖1中陰影部分的面積之和為S1 ， 圖2中陰影部分的面積為S2。

（1）用含a，b的代數式表示S1與S2(結果要化為最簡形式)。 （2）當S1+3S2= b2時，求a：b的值。

4．如圖，長方形ABCD中，AB=x(6（1）MH=________，KG=________，BJ=________(結果用含x或y的代數式表示) （2）若S2=S3 ， 求長方形ABCD的周長．

（3）若2S1+3S2=5S3 ， 且AD比AB長1，求長方形ABCD的面積． 5．閱讀下列材料:

對于多項式x2+x-2，如果我們把x=1代入此多項式，發(fā)現x2+x-2的值為0，這時可以確定多項式中有因式(x-1):同理，可以確定多項式中有另一個因式(x+2)，于是我們可以得到:x2+x-2=(x-1)(x+2)

又如:對于多項式2x2-3x-2，發(fā)現當x=2時，2x2-3x-2的值為0，則多項式2x2-3x-2有一個因

式(x-2)，我們可以設2x2-3x-2=(x-2)(mx+n)，解得m=2，n=1，于是我們可以得到:2x2-3x-2=(x-2)(2x+1)

請你根據以上材料，解答以下問題:

（1）當x=________時，多項式6x2-x-5的值為0，所以多項式6x2-x-5有因式________ ，從而因式分解6x2-x-5=________.

（2）以上這種因式分解的方法叫試根法，常用來分解一些比較復雜的多項式.請你嘗試用試根法分解多項式:①2x2+5x+3;②x3-7x+6

（3）小聰用試根法成功解決了以上多項式的因式分解，于是他猜想:

代數式(x-2)3-(y-2)3-(x-y)3有因式________ ， ________ ， ________ ，所以分解因式(x-2)3-(y-2)3-(x-y)3= ________。

6．觀察下列一組等式，然后解答后面的問題

， ，

，

（1）觀察以上規(guī)律，請寫出第 個等式：________ 為正整數）． （2）利用上面的規(guī)律，計算： （3）請利用上面的規(guī)律，比較

與

的大?。?p>7．數形結合是解決數學問題的一種重要的思想方法，借助圖的直觀性，可以幫助理解數學問題．

（1）請寫出圖1、圖2、圖3分別能解釋的乘法公式． 三個代數式（a+b）2、（a﹣b）2、ab之間的等量關系． （3）根據（2）中你探索發(fā)現的結論，完成下列問題： ①當a+b＝5，ab＝﹣6時，則a﹣b的值為________． ②設

（2）用4個全等的長和寬分別為a、b的長方形拼擺成一個如圖4的正方形，請你寫出這

，B＝x﹣2y﹣3，計算：（A+B）2﹣（A﹣B）2的結果________．

8．如果一個正整數能表示為兩個連續(xù)奇數的平方差，那么我們稱這個正整數為“和諧數”，如8=32-12 ， 16=52-32 ， 24=72-52 ， 因此，8，16，24這三個數都是“和諧數”． （1）在32，75，80這三個數中，是和諧數的是________；

（2）若200為和諧數，即200可以寫成兩個連續(xù)奇數的平方差，則這兩個連續(xù)奇數的和

為________；

（3）小鑫通過觀察發(fā)現以上求出的“和諧數”均為8的倍數，設兩個連續(xù)奇數為2n-1和2n+1（其中n取正整數），請你通過運算驗證“和諧數是8的倍數”這個結論是否符合題意．

9．一天，小明和小紅玩紙片拼圖游戲．發(fā)現利用圖①中的三種材料各若干可以拼出一些圖形來解釋某些等式，比如圖②可以解釋為：（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2 ．

（1）圖③可以解釋為等式：________．

（2）圖④中陰影部分的面積為________．觀察圖④請你寫出（a+b）2、（a﹣b）2、ab之間的等量關系是________．

（3）如圖⑤，小明利用7個長為b，寬為a的長方形拼成如圖所示的大長方形； ①若AB＝4，若長方形AGMB的面積與長方形EDHN的面積的差為S，試計算S的值（用含a，b的代數式表示）

②若AB為任意值，且①中的S的值為定值，求a與b的關系． 10．如圖所示,在邊長為a米的正方形草坪上修建兩條寬為b米的道路.

（1）為了求得剩余草坪的面積，小明同學想出了兩種辦法，結果分別如下： 方法①：________ 方法②：________

請你從小明的兩種求面積的方法中，直接寫出含有字母a，b代數式的等式是：________

（2）根據（1）中的等式，解決如下問題： ①已知： ②己知：

，求 的值；

，求

的值.

11．提出問題：“周長一定的長方形，當鄰邊長度滿足什么條件時面積最大？”

探究發(fā)現：如圖所示，小敏用4個完全相同的、鄰邊長度分別為a、b的長方形拼成一個邊長為（a+b）的正方形（其中a、b的和不變，但a、b的數值及兩者的大小關系都可以變化）.仔細觀察拼圖，我們發(fā)現，如果右圖中間有空白圖形F，那么它一定是正方形

（1）空白圖形F的邊長為________；

（2）通過計算左右兩個圖形的面積，我們發(fā)現（a+b）2、（a﹣b）2和ab之間存在一個等量關系式.

①這個關系式是________；

②已知數x、y滿足：x+y＝6，xy＝ ，則x﹣y＝________； 問題解決：

問題：“周長一定的長方形，當鄰邊長度滿足什么條件時面積最大？”

①對于周長一定的長方形，設周長是20，則長a和寬b的和是________面積S＝ab的最大值為________，此時a、b的關系是________； ②對于周長為L的長方形，面積的最大值為________. 活動經驗：

周長一定的長方形，當鄰邊長度a、b滿足________時面積最大. 12． （1）填空：

________ ；

________ ；

________ ；

（2）猜想：

（a-b）（an-1+an-2b+an-3b2+…+abn-2+bn-1）= ________（其中n為正整數，且n≥2）； （3）利用（2）猜想的結論計算： ①29+28+27+…+22+2+1 ②210-29+28-…-23+22-2．

【參】***試卷處理標記，請不要刪除

一、整式乘法與因式分解易錯壓軸解答題

1．（1）解：由圖可得，S1＝a2﹣b2 ， S2＝a2﹣a（a﹣b）﹣2b（a﹣b）＝2b2﹣ab

（2）解：S1+S2＝a2﹣b2+2b2﹣ab＝a2+b2﹣ab，

∵a+b＝10，

解析： （1）解：由圖可得，S1＝a2﹣b2 ， S2＝a2﹣a（a﹣b）﹣2b（a﹣b）＝2b2﹣ab （2）解：S1+S2＝a2﹣b2+2b2﹣ab＝a2+b2﹣ab， ∵a+b＝10，ab＝20，

∴S1+S2＝a2+b2﹣ab＝（a+b）2﹣3ab＝100﹣3×20＝40

（3）解：由圖可得，S3＝a2+b2﹣ b（a+b）﹣ a2＝ （a2+b2﹣ab）， ∵S1+S2＝a2+b2﹣ab＝30， ∴S3＝ ×30＝15.

【解析】【分析】（1）用邊長為a的正方形的面積減去邊長為b的正方形的面積即為S1 ， 用邊長為a的正方形的面積減去一個邊長分別為a、（a－b）的長方形的面積再減去兩個邊長分別為b、（a－b）的長方形的面積即為S2 ， 據此解答即可；

（2）先計算S1+S2＝a2+b2﹣ab＝（a+b）2﹣3ab，再將a+b＝10，ab＝20整體代入計算即可；（3）先計算S3＝ （a2+b2﹣ab），然后由S1+S2＝a2+b2﹣ab＝30，即可得到陰影部分的面積.

2．（1）

（2）a2+b2+2ab=(a+b)2 （3）解：能拼成長方形. 如圖.（不止一種）畫圖正確得分.

等式： 2a2+3ab+b2=(a+b)(2a+b) . （等式左右兩邊交換不扣分）

解析： （1）（2）

（3）解：能拼成長方形. 如圖.（不止一種）畫圖正確得分.

等式：

（等式左右兩邊交換不扣分）

【解析】【分析】 (1) 圖1陰影部分面積為S1=a2-b2 ， 圖1陰影部分面積為

.

S2=

;

， 根據展開前后圖形的面積相等得到S1=S2 ， 所以

(2) 圖3四個圖形面積和為S3=a2+b2+2ab，圖4的面積S4=(a+b)2,因為圖4為圖3的四個圖形拼成，所以S3=S4 ， 即

；

.

(3) 圖5六個圖形面積和為S5=2a2+b2+3ab，畫出的長方形的面積S=(a+b)(2a+b)，因為畫出的長方形為圖5的六個圖形拼成，所以S5=S， 即

3．（1）解：S1=2(a-b)2+(2b-a)2=3a2-8ab+6b2 S2=b2-(a-b)2=2ab-a2

（2）解：∵S1+3S2= 72 b2， ∴3a2-8ab+6b2+3(

解析： （1）解：S1=2(a-b)2+(2b-a)2=3a2-8ab+6b2 S2=b2-(a-b)2=2ab-a2 （2）解：∵S1+3S2= b2， ∴3a2-8ab+6b2+3(2ab-a2)= b2 化簡得：5b2=4ab， ∵b≠0，

∴兩邊同除以b，得：5b=4a， ∴a：b=5：4

【解析】【分析】（1）根據圖1可知左下角及右上角兩個圖形是全等的正方形，其邊長為（a-b），中間的小正方形應該是 (2b-a) ，然后根據正方形面積的計算方法即可列出算式 S1=2(a-b)2+(2b-a)2 ，再根據完全平方公式展開括號，再合并同類項即可；由圖2可知：陰影部分的面積=邊長為b的正方形的面積-邊長為（a-b）的正方形的面積，從而根據正方形面積的計算方法即可列出算式，再根據完全平方公式展開括號，再合并同類項即可； （2）根據（1）的計算結果，由 S1+3S2= b2 列出方程，化簡即可得出答案.

4．（1） ；9-y ；y-3

（2）解： FG=EB=x-6, IP=KG=9-y, IQ=IJ-EB=3-(x-6)=9-x, ∴S2=IP×IQ=(9-y)(9-x), LN=GD=KD-K

解析： （1）

；9-y ；y-3

（2）解： FG=EB=x-6, IP=KG=9-y, IQ=IJ-EB=3-(x-6)=9-x, ∴S2=IP×IQ=(9-y)(9-x), LN=GD=KD-KG=3-（9-y）=y-6, ∴S3=LN×NH=(y-6)(x-6), ∵S2=S3 ， ∴(9-y)(9-x)=(y-6)(x-6), 81-9y-9x+xy=xy-6x-6y+36 3(x+y)=81, x+y=27.

∴ 長方形ABCD的周長 =2(x+y)=. （3）解： S1=EB×BJ=(x-6)(y-3), 由 2S1+3S2=5S3得， 2(x-6)(y-3)+3(9-y)(9-x)=5(y-6)(x-6), 整理得：3y-x=33, ∵y=x+1, 解得x=15, y=16,

則長方形ABCD的面積=xy=15×16=240. 【解析】【解答】 【解答】（1）由圖可知，

AG+KD=AG+GD+KG=AD+KG，即6+3=y+KG, ∴KG=9-y,

由圖可知，BJ=AK=AG-KG=6-（9-y）=y-3, NH=DC-DN-HC=AB-2DN=x-6,

則MH=

;

【分析】（1）根據線段之間的關系，結合正方形的性質推得AG+KD=AD+KG，求出KG=KG=9-y,由BJ=AK=AG-KG，從而求得BG=y-3；

（2）根據已求線段的值，結合線段之間的關系，把IP和IQ，LN和NH分別用含x和y的代數式表示，根據S2=S3列式，求得x+y=27, 則矩形的周長可求；

（3）把S1、S2和S3分別用含x和y的代數式表示，根據2S1+3S2=5S3列式， 結合y=x+1,從而解出x、y則可求出長方形ABCD的面積.

5．（1）1；x-1；(x-1)(6x+5) （2）解：①2x2+5x+3=(x+1)(2x+3) ②x3-7x+6=(x-1)(x-2)x+3)

（3）x-2；y-2；x-y；(x-2)2-(

解析： （1）1；x-1；(x-1)(6x+5) （2）解：①2x2+5x+3=(x+1)(2x+3) ②x3-7x+6=(x-1)(x-2)x+3)

（3）x-2；y-2；x-y；(x-2)2-(y-2)3-(x-y)3=3(x-2)(y-2)(x-y)

【解析】【分析】（1）根據閱讀材料可知當x=1時多項式6x2-x-5的值為0，從而可得到多項式6x2-x-5的一個因式為（x-1）即可將此多項式分解因式。

（2）將x=-1代入2x2+5x+3，可知其值為0，因此可將此多項式分解因式；將x=1代入 x3-7x+6，可知 x3-7x+6=0，再將x=2代入，可知x3-7x+6=0，從而可將其多項式進行分解因式。 （2）利用試根法 ，將已知多項式進行分解因式即可。

6．（1）(n+1+n)(n+1-n)=1 （2）解：原式 （3）解： ， ， 119+18<118+17 ， ．

【解析】【解答】解：（1）根據題意得：第 n 個等式為 (n

解析： （1）（2）解：原式 （3）解：

，

，

， ．

個等式為

【解析】【解答】解：（1）根據題意得：第

；

故答案為：

；

【分析】（1）根據已知等式，可得第 個等式為

（2）利用分母有理化先化簡，然后根據二次根式的加減計算即得； （3）先求出

的大小，從而得出結論.

7．（1）圖1：（a+b）2＝a2+2ab+b2； 圖2：（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2； 圖3：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 ，

（2）圖4：（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab （3

解析： （1）圖1：（a+b）2＝a2+2ab+b2； 圖2：（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2； 圖3：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 ， （2）圖4：（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab （3）±7；∵

，B＝x﹣2y﹣3，

×（x﹣2y﹣3）＝（x+2y﹣3）（x﹣2y﹣3）＝

∴（A+B）2﹣（A﹣B）2＝4×A×B＝4×

[（x﹣3）+2y][（x﹣3）﹣2y]＝x2﹣6x+9﹣4y2 ．

【解析】【解答】（3）①由（2）知：（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab， ∵a+b＝5，ab＝﹣6， ∴52﹣（a﹣b）2＝4×（﹣6）， （a﹣b）2＝25+24＝49， ∴a﹣b＝±7， 故答案為：±7；

【分析】（1）根據圖形面積直接得出即可；（2）用兩種方法表示陰影部分的面積可得結論；（3）①根據（2）中的等量關系代入計算可得結論；②同理根據（2）中的公式代入可得結論．

8．（1）32；80 （2）100 （3）證明：∵ ,

∴“和諧數是8的倍數”這個結論是正確的．

【解析】【解答】解：（1）由“和諧數”的定義，設這兩個連續(xù)的奇數分別為 2n+1 ， ，

解析： （1）32；80 （2）100

（3）證明：∵

∴“和諧數是8的倍數”這個結論是正確的．

【解析】【解答】解：（1）由“和諧數”的定義，設這兩個連續(xù)的奇數分別為

， 則

和

諧

數

可

表

示

為

,

，

：

，（其中 表示正整

數）

∴“和諧數”就是8的正整數倍，

∴32，80是和諧數，75不是和諧數，且32=92-72 ， 80=212-192 ， 故答案為：32；80.（2）∵ ∴ ∴

，

，

，

200，即

200，

∵49+51=100，

∴這兩個連續(xù)奇數的和為100， 故答案為：100.

【分析】（1）根據“和諧數”的定義，設出一般的情況，看和諧數應滿足什么條件，以此條件判斷32，75，80這三個數中，哪些數是和諧數；（2）用字母表示兩個連續(xù)奇數與和諧數，由和諧數是200，列出方程，解出即得到這兩個連續(xù)的奇數，從而可以求得這兩個連續(xù)奇數的和；（3）用字母表示兩個連續(xù)奇數與和諧數，通過化簡，可以證明結論成立．

9．（1）（2a+b）（2b+a）＝2a2+5ab+2b2 （2）（a﹣b）2；（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab

（3）解：①∵AB＝4，長方形AGMB的面積與長方形EDHN的面積的差為S，

解析： （1）（2a+b）（2b+a）＝2a2+5ab+2b2 （2）（a﹣b）2；（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab

（3）解：①∵AB＝4，長方形AGMB的面積與長方形EDHN的面積的差為S， ∴大長方形的面積＝（3a+b）（4+b）＝7ab+4×3a+4×3a﹣S， ∴S＝4ab﹣4b+12a﹣b2； ②設AB＝m，

∴大長方形的面積＝（3a+b）（m+b）＝7ab+3ma+3ma﹣S， ∴S＝4ab﹣b2+m（3a﹣b），

∵若AB為任意值，且①中的S的值為定值， ∴3a＝b.

【解析】【解答】解：（1）根據圖可知長方形面積有（2a+b）（2b+a）＝2a2+5ab+2b2； 故答案為（2a+b）（2b+a）＝2a2+5ab+2b2； （ 2 ）④圖中陰影部分面積是（a﹣b）2 ，

根據陰影部分面積可以是大正方形面積減去四個長方形面積， ∴（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab，

故答案為（a﹣b）2 ， （a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab；

【分析】（1）根據圖形面積可知（2a+b）（2b+a）=2a2+5ab+2b2；（2）根據陰影部分面積可以是大正方形面積減去四個長方形面積，得到（a-b）2=（a+b）2-4ab；（3）①大長方形的面積=（3a+b）（4+b）=7ab+4×3a+4×3a-S；②設AB=m，大長方形的面積=（3a+b）（m+b）=7ab+3ma+3ma-S，3a-b=0；

10．（1）（a-b）2；a2-2ab+b2；（a-b）2=a2-2ab+b2 （2）解：①把 代入 ∴ 52=20-2ab ， ∴ ab=-2.5 ②原式可化為： ∴ ∴ 2(x

解析： （1）（a-b）2；a2-2ab+b2；（a-b）2=a2-2ab+b2 （2）解：①把 ∴ ∴

．

，

代入

②原式可化為： ∴ ∴ ∴

【解析】【解答】解：（1）方法①：草坪的面積=（a-b）（a-b）= 方法②：草坪的面積= 等式為： 故答案為：

，

；

；

【分析】（1）方法①是根據已知條件先表示出矩形的長和寬，再根據矩形的面積公式即可得出答案；方法②是正方形的面積減去兩條道路的面積，即可得出剩余草坪的面積；根據（1）得出的結論可得出

；（2）①分別把

的值和

的值代入（1）中等式，即可得到答案；②根據題意，把（x-2018）和（x-2020）

變成（x-2019）的形式，然后計算完全平方公式，展開后即可得到答案.

11．（1）a﹣b

（2）（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab；5或﹣5；10；25；a＝b；116 L2；a＝b 【解析】【解答】（1）由圖可知：空白圖形F的邊長為：a﹣b，

故答案為：a﹣b；

解析： （1）a﹣b

（2）（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab；5或﹣5；10；25；a＝b； L2；a＝b 【解析】【解答】（1）由圖可知：空白圖形F的邊長為：a﹣b， 故答案為：a﹣b；

（ 2 ）①左圖形的面積為：2a×2b＝4ab， 右圖形的面積為：（a+b）2﹣（a﹣b）2 ， ∴（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab， 故答案為：（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab；

②由（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab得：（x+y）2﹣（x﹣y）2＝4xy， 即：62﹣（x﹣y）2＝4× ， ∴（x﹣y）2＝25， ∴x﹣y＝5或x﹣y＝﹣5， 故答案為：5或﹣5； 問題解決：

解：①∵長方形的周長是20， ∴2（a+b）＝20， ∴a+b＝10，則b＝10﹣a，

∴面積S＝ab＝a（10﹣a）＝﹣a2+10a＝﹣（a﹣5）2+25， ∴a＝5時，S＝ab的最大值為25， 此時a、b的關系是a＝b， 故答案為：10，25，a＝b； ②對于周長為L的長方形， 設一邊長為a，則鄰邊長為 ﹣a， ∴面積

；

∴面積的最大值為 L2； 故答案為： L2； 活動經驗：

解：周長一定的長方形，當鄰邊長度a、b滿足a＝b時面積最大； 故答案為：a＝b.

【分析】探究發(fā)現（1）由圖可知：空白圖形F的邊長為：a-b；（2）①由矩形的性質得出左圖形的面積為：2a×2b=4ab，由正方形的性質得出右圖形的面積為：（a+b）2-（a-b）

2 ， 即可得出答案；②由①得出（x-y）2=25，即可得出答案；問題解決①由長方形的性

質得出a+b=10，面積S=ab=a（10-a）=-a2+10a=-（a-5）2+25，由二次函數的性質即可得出答案；②由長方形的性質得出面積

函數的性質即可得出答案；活動經驗根據前面的問題即可得出結論.

；由二次

12．（1）a2－b2；a3－b3；a4－b4 （2）an－bn

（3）解：①29＋28＋27＋…＋23＋22＋2＋1＝(2－1)×(29＋28×1＋27×12＋…＋23·16＋22·17＋2·18＋1

解析： （1）a2－b2；a3－b3；a4－b4 （2）an－bn

（3）解：①29＋28＋27＋…＋23＋22＋2＋1＝(2－1)×(29＋28×1＋27×12＋…＋23·16＋22·17＋2·18＋19)＝210－110＝210－1＝1023.

②210－29＋28－…－23＋22－2＝ ×[2－(－1)]×[210＋29×(－1)1＋28×(－1)2＋…＋23×(－1)7＋22×(－1)8＋2×(－1)9＋(－1)10－1]＝ ×[211－(－1)11]－ ×3×1＝682. 【解析】【解答】解：（1）(a－b)(a＋b)＝a2－b2；

；

；（2）由（1）可得，(a－b)(an1＋an2b＋an3b2＋…＋abn2＋bn1)＝an－bn；

－

－

－

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【分析】(1)根據平方差公式與多項式乘以多項式的運算法則運算即可;(2)根據(1)的規(guī)律可得結果;(3)原式變形后,利用(2)得出的規(guī)律計算即可得到結果.