§2.3 曲面的第二基本形式

2.3.1 第二基本形式

前面我們引進(jìn)出了曲面的第一基本形式 I , 研究了曲面的一些內(nèi)蘊(yùn)性質(zhì), 即只依賴于曲 面本身, 而不依賴于曲面在空間中如何彎曲的幾何性質(zhì). 在理論和實(shí)際應(yīng)用中, 必須考慮曲 面在空間中的彎曲程度, 為此, 我們將引進(jìn)曲面的另一個(gè)二次微分式.

對(duì)正則 Ck(k ≥ 2) 曲面 S : r = r(u, v) , 單位法向量 n = ru×rv |ru×rv| 作為參數(shù) u, v 的函數(shù),

其微分表示為 dn = nudu + nvdv . 由于 0 = d(n · n) = 2n · dn , 所以 dn 是切平面中的向 量. 令 II = ?dr · dn , 稱 II 為曲面 S 的 第二基本形式. 下面我們首先計(jì)算第二基本形式的 參數(shù)表示. 由于 dr = rudu + rvdv , 所以

II = ?dr · dn

= ?(rudu + rvdv) · (nudu + nvdv)

= Ldu2 + 2Mdu dv + Ndv2,

其中 L = ?ru · nu, M = ?(ru · nv + rv · nu)/2, N = ?rv · nv, 它們作為參數(shù) u, v 的函 數(shù), 稱為曲面 S 的第二基本形式系數(shù).

由于 ru · n = 0, rv · n = 0, 兩式分別關(guān)于 u, v 求偏導(dǎo)數(shù), 我們有

ruu · n + ru · nu = 0, rvu · n + rv · nu = 0, 因此第二基本形式系數(shù)可以表示為

L = ruu · n = ?ru · nu = √ (ruu, ru, rv) EG ? F 2 ruv · n + ru · nv = 0, rvv · n + rv · nv = 0,

, (ruv, ru, rv) EG ? F 2 ,

M = ruv · n = ?ru · nv = ?rv · nu = √ N = rvv · n = ?rv · nv = √ (rvv, ru, rv) EG ? F 2 .

另外, 因?yàn)?n · dr = 0 , 微分便得 d2r · n = ?dr · dn , 于是我們得到曲面的第二基本形式的 以下三種等價(jià)的表示

II = Ldu2 + 2Mdudv + Ndv2

= n · d2r = ?dr · dn.

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【例 1】 對(duì)平面, 因法向量 n 為常向量, 所以 II = ?dn · dr ≡ 0.

對(duì)中心徑矢為 r0, 半徑為 a的球面, 因其單位法矢量 n = a1 (r ? r0) 或 n = a1 (r0 ? r), 于 是 II = ?dn · dr = ± a1 I.

【例 2】 求旋轉(zhuǎn)曲面 r(u, v) = {f(v) cos u, f(v) sin u, g(v)} 的第二基本形式. 【解】 直接計(jì)算得到以下各量

ruu = {?f cos u, ?f sin u, 0}, ruv = {?f sin u, ?f cos u, 0}, rvv = {f cos u, f sin u, g },

n =

因此

1 f

2

{g cos u, g sin u, ?f },

+ g 2

?fg f

2

L = ruu · n =

直接計(jì)算得到以下各量

ru = {1, 0, fu}, n = ru × rv |ru × rv| = M = ruv · n = 0, N = rvv · n = 【例 3】 求曲面 z = f(x, y) 的第二基本形式.

+ g 2

,

f g ? f g f 2 + g 2

.

【解】 我們知道: 曲面 z = f(x, y) 可以寫成向量形式

r(u, v) = {u, v, f(u, v)},

rv = {0, 1, fv}, 1 1 + fu2 + fv2 {?fu, ?fv, 1},

ruu = {0, 0, fuu}, ruv = {0, 0, fuv}, rvv = {0, 0, fvv},

因此

L = n · ruu =

fuu 1 + fu2 + fv2 fuv 1 + fu2 + fv2 fvv 1 + fu2 + fv2 79

,

,

M = n · ruv =

N = n · rvv =

,

曲面 z = f(x, y) 的第二基本形式是

II =

1 1 + fu2 + fv2

[fuudu2 + 2fuvdudv + fvvdv2].

??→

對(duì)曲面 S : r = r(u, v) 上的給定點(diǎn) P (u, v) 及其鄰近點(diǎn) Q(u + du, v + dv) , 令 d = P Q · n ,

??→

即位移向量 P Q 在點(diǎn) P 處單位法向量 n 方向上的投影. |d| 即從 Q 點(diǎn)到 P 點(diǎn)切平面的垂直距 離, 而 d 的正負(fù)號(hào)依賴于 Q 點(diǎn)是位于 P 點(diǎn)切平面的一側(cè)或另一側(cè), 換句話說(shuō), d 的正負(fù)號(hào)反 映曲面 S 在 P 點(diǎn)處的彎曲方向. 利用向量形式的 Tayloy 展開式及事實(shí) n · ru = 0, n · rv = 0,

2.3.2 第二基本形式的幾何意義

有

??→ d = P Q · n = (r(u + du, v + dv) ? r(u, v)) · n 1 = [dr + d2r + o(du2 + dv2)] · n 2 1 = dr · n + d2r · n + o(du2 + dv2) 2

1 = II + o(du2 + dv2) 2

??→

由此可見, II 代表起點(diǎn)在 P 的位移向量 P Q 在法向量上投影的主要部分的二倍, 它描 述了 Q 點(diǎn)在法方向上相對(duì)于 P 的改變, 即描述了曲面在 P0 點(diǎn)附近彎曲的狀況.

【例 4】

容易驗(yàn)證平面 r(u, v) = {u, v, 0} 與圓柱面 r(u, v) = {cos u, sin u, v} 具

有相同的第一基本形式 du2 + dv2, 但平面的第二基本形式 II ≡ 0 , 而圓柱面的第二基 本形式 II = ?du2, 這表明它們?cè)诳臻g中的形狀完全不同(事實(shí)正是如此).

與第一基本形式 I 不同, 曲面的第二基本形式II 作為 (du, dv) 的二次型, 當(dāng) LN ? M 2 > 0 時(shí)是正定或負(fù)定; 當(dāng) LN ? M 2 < 0 時(shí)是不定的; 而當(dāng) LN ? M 2 = 0 時(shí)是退化 的.

下面定理表明, 第二基本形式在一點(diǎn)的值與這點(diǎn)鄰近曲面形狀的關(guān)系. 定理 3.1

曲面上, 使第二基本形式正定或負(fù)定的點(diǎn)鄰近, 曲面的形狀是凸的(或

凹的, 由法向選取決定); 在第二基本形式不定的點(diǎn)鄰近, 曲面是馬鞍型的.

證明 設(shè) P0(u0, v0) 是曲面 S : r = r(u, v) 上的任一取定點(diǎn), 我們考察到 P0 點(diǎn)切

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平面的高度函數(shù)

f(u, v) = (r(u, v) ? r(u0, v0)) · n(u0, v0),

由于

fu = ru · n(u0, v0), fv = rv · n(u0, v0),

所以 fu(u0, v0) = fv(u0, v0) , 即 (u0, v0) 是 f 的臨界點(diǎn). 在這一點(diǎn), 高度函數(shù) f 的二階 導(dǎo)數(shù)方陣(Hessian矩陣)為

fuu fuv fvu fvv

(u0, v0) =

L M

N

M

(u0, v0).

因此, 當(dāng)?shù)诙拘问?II 在點(diǎn) (u0, v0) 正定或負(fù)定時(shí), f(u0, v0) = 0 是最大值或最小 值, 這說(shuō)明曲面 S 的形狀是凸或凹的(如圖2(1)). 而當(dāng)?shù)诙拘问?II 在點(diǎn) (u0, v0) 既 非正定也非負(fù)定時(shí), f(u0, v0) = 0 既不是最大值也不是最小值, 因而曲面 S 在這點(diǎn)附

近是馬鞍型(如圖2(2)).

根據(jù)上述定理, 我們對(duì)曲面上的點(diǎn)進(jìn)行如下分類:

(1) 橢圓點(diǎn) — 使 LN ? M 2 > 0 的點(diǎn). 在橢圓點(diǎn)處, 第二基本形式沿任何方向都 不變號(hào), 而且曲面在橢圓點(diǎn)鄰近總位于切平面的一側(cè)(如圖2(1)).

(2) 雙曲點(diǎn) — 使 LN ? M 2 < 0 的點(diǎn). 在雙曲點(diǎn)的切平面上, 有通過(guò)該點(diǎn)的兩條 直線將切平面分成四部分, 第二基本形式在這四部分或?yàn)檎? 或?yàn)樨?fù), 而沿這兩條直 線, 第二基本形式為零. 曲面在雙曲點(diǎn)鄰近位于切平面的兩側(cè)(如圖2(2)).

(3) 拋物點(diǎn) — 使 LN ? M 2 = 0 , 且 L2 + M 2 + N 2 = 0 的點(diǎn). 在拋物點(diǎn)的切平面

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上, 有通過(guò)該點(diǎn)的惟一一條直線, 沿這條直線, 第二基本形式為零; 而沿其它任何方向 第二基本形式都不變號(hào)(如圖2(3)).

(4) 平點(diǎn) — 使 L = M = N = 0 的點(diǎn).

【例 5】

對(duì)環(huán)面 r(θ, φ) = {(b + a sin φ) cos θ, (b + a sin φ) sin θ, a cos φ} , 其中

a < b 是正常數(shù), 參數(shù) 0 ≤ θ, φ ≤ 2π . 直接計(jì)算知

L = ruu · n = (b + a sin φ) sin φ, M = ruv · n = 0, N = rvv · n = a,

而且

LN ? M 2 = a(b + a sin φ) sin φ,

注意到第二基本形式系數(shù)只依賴于參數(shù) φ , 即沿參數(shù)曲線 φ = φ0 , 第二基本形式系數(shù) 為常數(shù). 又因?yàn)?0 < a < b, a(b + a sin φ) > 0 , 所以 LN ? M 2 與 sin φ 同號(hào). 最后我們 得到環(huán)面上點(diǎn)的如下分類(如圖3):

(1) 參數(shù) φ 滿足 0 < φ < π 的點(diǎn)是橢圓點(diǎn)(對(duì)應(yīng)環(huán)面的外側(cè)點(diǎn)); (2) 參數(shù) φ 滿足 π < φ < 2π 的點(diǎn)是雙曲點(diǎn)(對(duì)應(yīng)環(huán)面的內(nèi)側(cè)點(diǎn)); (3) 參數(shù) φ = 0 及 φ = π 的點(diǎn)是拋物點(diǎn)(對(duì)應(yīng)環(huán)面的內(nèi)外側(cè)交界點(diǎn)).

2.3.3 第二基本形式的性質(zhì) 定理 3.2

在容許相差一個(gè)正負(fù)號(hào)的意義下, 第二基本形式 II 與曲面 S 上正則參

數(shù) (u, v) 的選取無(wú)關(guān).

證明 設(shè) r = r(u, v) 和 r = r(ˉu, vˉ) 是曲面 S 的兩個(gè)不同參數(shù)表示, 相應(yīng)的單位法 向量分別為 n 和 ˉn . 利用下面兩組等式

?

?duˉ = ?uˉ? du ?uˉ dv, u + ?v

= vˉ vˉ ?v dv, ?dvˉ ? u du +

及

?

?ru = ru ?uˉ + ˉ ˉ rv v ?ˉu , ?rv = ru ?v +ˉ r vˉˉ ? u v , v ˉ

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容易驗(yàn)證, dr = dr (或者直接利用一階微分形式的不變性ˉ ˉ ), 同理有 dn = ±dn (正負(fù) 號(hào)依賴于參數(shù)變換 (u, v) → (ˉu, vˉ) 是同向或反向參數(shù)變換). 因此

dr · dn = ±dr · dn, ˉ ˉ

即在同向參數(shù)變換下, 第二基本形式不變, 而在反向參數(shù)變換下, 第二基本形式改變 符號(hào).

定理 3.3 下改變符號(hào).

證明 設(shè) f : f(P ) = P · T + P0 是 R3 的任一剛性或反剛性變換, 曲面 S : r =

曲面的第二基本形式在 R3 的剛性運(yùn)動(dòng)下不變; 而在 R3 的反剛性運(yùn)動(dòng)

r(u, v) 在 f 下的像為 S? : r?(u, v) = f ? r(u, v). 則

?

r?u × r?v = ? (ru × rv) · T , 當(dāng) detT = 1, ??(ru × rv) · T , 當(dāng) detT = ?1,

因此我們有 n? = sgn(det T ). 又因?yàn)?dr? = dr · T , 所以

II? = ?dr? · dn? = ?sgn(det T ) (dn · T ) · (dr · T ) = sgn(det T )II.

注意到 detT = 1 或 ?1 分別表示 f 是剛性運(yùn)動(dòng)或反剛性運(yùn)動(dòng), 所以定理得證.

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