三、極坐標(biāo)與參數(shù)方程

【考題分類】

（一）選擇題（共3題）

1.極坐標(biāo)方程（p-1）（???）=（p?0）表示的圖形是（ ） （A）兩個(gè)圓 （B）兩條直線

（C）一個(gè)圓和一條射線 （D）一條直線和一條射線 【答案】C

【解析】．原方程等價(jià)于??1或???，前者是半徑為1的圓，后者是一條射線。

?x??1?t?y?2?3t（t為參數(shù)）所表示的圖形分別是（ ） ??cos?2.極坐標(biāo)方程和參數(shù)方程?A、圓、直線 B、直線、圓

C、圓、圓 D、直線、直線

?x??1?t?y?2?tp?cos?3.極坐標(biāo)和參數(shù)方程?（t為參數(shù)）所表示的圖形分別是（ ）

A. 直線、直線 B. 直線、圓 C. 圓、圓 D. 圓、直線

D

（二）填空題（共4題）

1.在極坐標(biāo)系（ρ，θ）（0 ≤ θ<2π）中，曲線ρ=2sin? 與pcos???1 的交點(diǎn)的極坐標(biāo)為______。

(2,【答案】

3?)4

?x??cos?,?y??sin?知，這兩條曲線的普通方程分別

【解析】由極坐標(biāo)方程與普通方程的互化式?

1

?x??1,?x??cos?,3???(2,)22y??sin?y?1.x?y?2y,x??14??為．解得由得點(diǎn)（-1，1）的極坐標(biāo)為．

2.在極坐標(biāo)系（ρ，?）（0??＜2?）中，曲線的交點(diǎn)的極坐標(biāo)為______。

??cos??sin???1與

??sin??cos???1?x?cos??y?1?sin?3.已知圓C的參數(shù)方程為?（a為參數(shù)）以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立

極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為?sin??1，則直線l與圓C的交點(diǎn)的直角坐標(biāo)系為_______

【答案】??1,1?,?1,1?

2y?1x??y?1??1. Cl【解析】由題設(shè)知，在直角坐標(biāo)系下，直線的方程為，圓的方程為

2?x2??y?1?2?1?x??1?x?1???y?1y?1y?1.故所求交點(diǎn)的直角坐標(biāo)為??1,1?,?1,1?.

又解方程組?，得?或??x?cos?,?y?1?sin?（?為參數(shù)）化成普通方程為

4.參數(shù)方程?【答案】x2＋（y－1）2＝1 （三）解答題（共4題）

?2t?x?3??2??y?5?2t?2（t為參數(shù)）1.在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為?，在極坐標(biāo)系（與

直角坐標(biāo)系xOy取相同的長(zhǎng)度單位，且以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸）中，圓C的方程為??25sin?。 （Ⅰ）求圓C的直角坐標(biāo)方程；

（Ⅱ）設(shè)圓C與直線l交于點(diǎn)A、B。若點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，5），求|PA|?|PB|。 【命題意圖】本小題主要考查直線的參數(shù)方程、圓的極坐標(biāo)方程、直線與圓的位置關(guān)系等基

礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力。

2222x?(y?5)?5. ??25sin?x?y?25y?0,【解析】（Ⅰ）由得即

2

（Ⅱ）將l的參數(shù)方程代入圓C的直角坐標(biāo)方程，得

(3?2222t)?(t)?522，

22t?32t?4?0,??(32)?4?4?2?0，故可設(shè)t1,t2是上述方程的兩實(shí)根， 即由于

所以

?t1?t2?32?,又直線l過(guò)點(diǎn)P(3,5),???t1t2?4故由上式及t的幾何意義得：

|PA|+|PB|=

|t1|+|t2|=t1+t2=32。

2.在極坐標(biāo)系中，圓ρ=2cosθ與直線3ρcosθ+4ρsinθ+a=0相切，求實(shí)數(shù)a的值

[解析] 本題主要考查曲線的極坐標(biāo)方程等基本知識(shí)，考查轉(zhuǎn)化問題的能力。滿分10分。

22222??2?cos?x?y?2x,(x?1)?y?1， 解：，圓ρ=2cosθ的普通方程為：

直線3ρcosθ+4ρsinθ+a=0的普通方程為：3x?4y?a?0，

|3?1?4?0?a|又圓與直線相切，所以3?422?1,解得：a?2，或a??8。

?x?cos??y?sin?（?為參數(shù)，0????）上的點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1,0），

3.已知P為半圓C：?O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)M在射線OP上，線段OM與C的弧

?的長(zhǎng)度均為3。

（I）以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求點(diǎn)M的極坐標(biāo)； （II）求直線AM的參數(shù)方程。

3

?x?1?tcos??x?cos???y?tsin?y?sin?（?為參數(shù)）， ?4.已知直線C1（t為參數(shù)），C2??（Ⅰ）當(dāng)?=3時(shí)，求C1與C2的交點(diǎn)坐標(biāo)；

（Ⅱ）過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O做C1的垂線，垂足為，P為OA中點(diǎn)，當(dāng)?變化時(shí)，求P點(diǎn)的軌跡的參數(shù)方程，并指出它是什么曲線。

??解： （Ⅰ）當(dāng)

?223時(shí)，C1的普通方程為y?3(x?1)，C2的普通方程為x?y?1。

??13??y?3(x?1)，????2?2?22x?y?1CC???。 ?21聯(lián)立方程組 ，解得與的交點(diǎn)為（1,0）

（Ⅱ）

C1的普通方程為xsin??ycos??sin??0。

2?sinA點(diǎn)坐標(biāo)為

??cos?sin??，

故當(dāng)?變化時(shí)，P點(diǎn)軌跡的參數(shù)方程為：

12?x?sin???2?為參數(shù)????y??1sin?cos???2

1?1?2x??y???416。 ??P點(diǎn)軌跡的普通方程為

?1?10??，故P點(diǎn)軌跡是圓心為?4?，半徑為4的圓。

2

4