這是一篇值得討論的問題，作者認為補零fft可以提高頻率分辨率，并給出了試驗結果，可以看出確實提高了對頻率細節(jié)的觀察能力，本人可以肯定這個試驗是真實的試驗。但是所有的數字信號教課書上都認為補零fft并不能提高頻率分辨率，是不是有矛盾？

1 從分析角度， 設fs為采樣頻率，fft長度為N， 那么頻率分辨率為fs/N, 如果N增加那么頻率分辨率增加。這是下面一篇文章的用的論據。

2 從另一角度，設fs為采樣頻率，fft長度為N， 則頻率分辨率為fs/N, 我們引進另一個概念：時間長度DT（duration of time）, 可以看出DT = 1/頻率分辨率. 則頻率分辨率=1/DT 。從這一角度看只要DT不變，頻率分辨率就不會變。因此盡管補零或插值，都不會提高分辨率。這是所有目前信號處理教科書的觀點，但這些教科書都沒有給出原因，不知道為什么，我發(fā)現(xiàn)這個問題是曾經找過不少教科書，沒有一本給出原因，問老師也答的含糊不清。后來我反復考慮，感覺應該如此解釋，如若有意見，歡迎討論。

為什么兩個角度看竟然矛盾？同樣一個問題為什么有不同的解釋

從1 我們看出，增加的值全為零，不是原信號內容，這就造成了特殊性，我們的信號變了不是原來信號了！而是新的補零信號的周期延拓。但是可以證明兩個信號在對應點上的頻譜值相同（直接利用定義即可推出）。至于補零后其它多點處的頻譜是否是原信號的內容，這是問題的關鍵。 事實上，用于實用的方法不是下文里提到的方法，而是利用采樣數據抽取，降低采樣頻率的方法來實現(xiàn)。因為數據長度一般在使用時都是最大長度，尤其是這種應用，肯定已經采用最大數據處理長度，不用問的。

我有一個試驗，是多年前和一位同學討論此類問題的試驗，有興趣的不妨試試.%% 用于檢驗補零FFT是否提高分辨率

%% 結論： 1。 補零fft提高分辨率是指信號加窗后的合成信號的分辨率。

% 這種情況下fft可以幫助分辨真實的峰值，但分辨率你可以計算一下應該改是不變的。 % 2。 如果信號=加窗后的合成信號 提高分辨率，如果加入點為真實的數據，當然提高分辨率。

% 4。 提高分辨細節(jié)的本質是由于窗的展寬，窗分辨細節(jié)率的提高引起的。這是一個用大窗觀 察含有小窗信號的小窗的過程。補零而看到的頻率細節(jié)不是信號本身的細節(jié)，而是窗的細節(jié)。

clear;

Nfft=16;

span=[0:Nfft-1]; omga=[1:3]*pi/8;

x=exp(j*omga(1)*span)+exp(j*omga(2)*span)+exp(j*omga(3)*span);stem(pi/Nfft*[0:Nfft-1],abs(fft(x,Nfft)),'r'); figure(2);

stem(pi/Nfft/2*[0:Nfft*2-1],abs(fft(x,Nfft*2)),'b'); figure(3); stem(pi/Nfft/16*[0:Nfft*16-1],abs(fft(x,Nfft*16)),'g');

原文連接：http://www.ed-china.com/ART_8800009929_400014_500012_TS.HTM 原文簡介：

采用C語言程序處理FFT算法為力的擴大頻譜的問題

如果你只是對計算小頻率范圍上的頻譜有興趣，那HRFT可能比FFT更有效。頻率范圍越窄，HRFT的吸引力就越大。當必須利用有限的存儲資源在嵌入式系統(tǒng)中執(zhí)行運算時，這一點尤為明顯。

許多科學和工程應用都要求信號準確的頻譜或傅立葉變換。式1以無量綱形式

(dimensionless form)給出，其中Ω = ΩT，T是采樣間隔，q[n] = q(nT)，代表信號q(t)的第n次采樣。該式也假設信號為有限長序列，故總共僅有N 個連續(xù)采用點。Q(Ω)是連續(xù)變量Ω的周期函數，周期為2e。

常規(guī)求解方法是在區(qū)間Ω = [0, 2e]內的N個均勻間隔點上計算Q(Ω)的值。這個過程叫做離散傅立葉變換(DFT)，通常利用快速傅利葉變換(FFT)的算法來完成。DFT給出點Ω = 2ek/N (k = 0...N -1)的傅立葉變換，從而按照實際頻率給出了Ω=2e/(NT) 或f=1/(NT)的分辨率。對許多應用來說，這種分辨率可能已經足夠。

對于某些應用，必須非常準確地確定頻譜峰值(spectral peak)的位置。在這種情況下，DFT提供的分辨率可能不夠。提高分辨率的方法之一就是簡單地用額外的零來增加采樣點。例如，為加倍頻率分辨率，你可以在q[n]序列末尾增添N個零，使總的序列長度為2N。DFT將在2N個點上計算Q(Ω)，從而使分辨率提高一倍。

為提高分辨率而增加的零的個數是有的。通常，只有在很小的頻率范圍內才需要提高分辨率。這里提供了一種簡潔明了的辦法，那就是直接在你感興趣的頻率范圍上計算式1。下面給出有效算法。

采用歐拉恒等式，我們可以把式1分為實數和虛數兩部分：

通過契比雪夫多項式(Chebyshev polynomials)，我們從sinΩ和cosΩ開始，有效地進行sin(nΩ)和cos(nΩ)的遞歸運算。

在式4和式5中，已知T0 =1、T1=cosΩ、U0=1以及U1=2cosΩ，我們可以利用下列公式計算每一個Tn和Un。

現(xiàn)在我們只需要cosΩ和sinΩ，就能夠以任意的高分辨率(遠大于標準FFT)在一個非常小的頻率范圍上計算子頻譜了。這一程序hrft用C語言編寫，執(zhí)行如下： hrft f1 f2 Nf N sps infile outfile

其中，f1=開始頻率(Hz)，f2=終止頻率(Hz)，Nf=計算FT的頻率點數， N=從輸入文件讀取的采樣點數，sps=每秒采樣點數，infile=輸入文件，outfile=輸出文件。

圖中顯示了由FFT算法產生的從2260Hz到2268 Hz的部分頻譜，以及由高分辨率傅立葉變換(HRFT)在該頻率范圍上產生的頻譜。

兩種方法都采用了相同的2048點數據集。FFT具有4 Hz/bin的分辨率，HRFT計算了41個點，分辨率為0.2 Hz/bin。顯然，41點的HRFT3比3點FFT的圖更平滑。數據集的主要頻率為2265 Hz，據此我們可以看出HRFT方法準確定位了頻率峰值，而用FFT定位的峰值則偏離了1Hz。為了利用FFT獲得同樣好的分辨率，必須添加零，以達到 65,536個點的序列長度。

如果你只是對計算小頻率范圍上的頻譜有興趣，那HRFT可能比FFT更有效。頻率范圍越窄，HRFT的吸引力就越大。當必須利用有限的存儲資源在嵌入式系統(tǒng)中執(zhí)行運算時，這一點尤為明顯。

采用C語言程序處理FFT算法為力的擴大頻譜的問題（轉） 2009-05-20 17:59

如果你只是對計算小頻率范圍上的頻譜有興趣，那HRFT可能比FFT更有效。頻率范圍越窄，HRFT的吸引力就越大。當必須利用有限的存儲資源在嵌入式系統(tǒng)中執(zhí)行運算時，這一點尤為明顯。

許多科學和工程應用都要求信號準確的頻譜或傅立葉變換。式1以無量綱形式(dimensionless form)給出，其中Ω = ΩT，T是采樣間隔，q[n] = q(nT)，代

表信號q(t)的第n次采樣。該式也假設信號為有限長序列，故總共僅有N 個連續(xù)采用點。Q(Ω)是連續(xù)變量Ω的周期函數，周期為2e。

常規(guī)求解方法是在區(qū)間Ω = [0, 2e]內的N個均勻間隔點上計算Q(Ω)的值。這個過程叫做離散傅立葉變換(DFT)，通常利用快速傅利葉變換(FFT)的算法來完成。DFT給出點Ω = 2ek/N (k = 0...N -1)的傅立葉變換，從而按照實際頻率給出了Ω=2e/(NT) 或f=1/(NT)的分辨率。對許多應用來說，這種分辨率可能已經足夠。

對于某些應用，必須非常準確地確定頻譜峰值(spectral peak)的位置。在這種情況下，DFT提供的分辨率可能不夠。提高分辨率的方法之一就是簡單地用額外的零來增加采樣點。例如，為加倍頻率分辨率，你可以在q[n]序列末尾增添N個零，使總的序列長度為2N。DFT將在2N個點上計算Q(Ω)，從而使分辨率提高一倍。

信號采樣序列的傅立葉變換如式1所示。

為提高分辨率而增加的零的個數是有的。通常，只有在很小的頻率范圍內才需要提高分辨率。這里提供了一種簡潔明了的辦法，那就是直接在你感興趣的頻率范圍上計算式1。下面給出有效算法。

采用歐拉恒等式，我們可以把式1分為實數和虛數兩部分：

通過契比雪夫多項式(Chebyshev polynomials)，我們從sinΩ和cosΩ開始，有效地進行sin(nΩ)和cos(nΩ)的遞歸運算。

在式4和式5中，已知T0 =1、T1=cosΩ、U0=1以及U1=2cosΩ，我們可以利用下列公式計算每一個Tn和Un。

現(xiàn)在我們只需要cosΩ和sinΩ，就能夠以任意的高分辨率(遠大于標準FFT)在一個非常小的頻率范圍上計算子頻譜了。這一程序hrft用C語言編寫，執(zhí)行如下：

hrft f1 f2 Nf N sps infile outfile

其中，f1=開始頻率(Hz)，f2=終止頻率(Hz)，Nf=計算FT的頻率點數， N=從輸入文件讀取的采樣點數，sps=每秒采樣點數，infile=輸入文件，outfile=輸出文件。

圖中顯示了由FFT算法產生的從2260Hz到2268 Hz的部分頻譜，以及由高分辨率傅立葉變換(HRFT)在該頻率范圍上產生的頻譜。

兩種方法都采用了相同的2048點數據集。FFT具有4 Hz/bin的分辨率，HRFT計算了41個點，分辨率為0.2 Hz/bin。顯然，41點的HRFT3比3點FFT的圖更平滑。數據集的主要頻率為2265 Hz，據此我們可以看出HRFT方法準確定位了頻率峰值，而用FFT定位的峰值則偏離了1Hz。為了利用FFT獲得同樣好的分辨率，必須添加零，以達到 65,536個點的序列長度。

如果你只是對計算小頻率范圍上的頻譜有興趣，那HRFT可能比FFT更有效。頻率范圍越窄，HRFT的吸引力就越大。當必須利用有限的存儲資源在嵌入式系統(tǒng)中執(zhí)行運算時，這一點尤為明顯。