一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，滿分60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的

1．已知平面向量，，，下列命題正確的是（ ） A．若=， =，則= B．若||=||，則= C．若λ=0（λ為實數(shù)），則λ=0

D．若∥，∥，則∥

2．設(shè)a，b，c∈R，且b＞a，則下列命題一定正確的是（ ） A．bc＞ac

B．b＞a

3

3

C．b＞a

22

D．＜

3．等比數(shù)列{an}中，a3a5=，則a4=（ ） A．8

B．﹣8 C．8或﹣8 D．16

4．△ABC中，AB=2，AC=3，∠B=30°，則cosC=（ ） A．

B．

C．﹣

D．±

5．用火柴棒擺“三角形”，如圖所示：按照規(guī)律，第5個“三角形”中需要火柴棒的根數(shù)是（ ）

A．18 B．19 C．24 D．25

6．設(shè)0＜a＜b，則下列不等式中正確的是（ ） A．a(chǎn)＜b＜7．若a∈（A．﹣ B．﹣8．已知m=A．2

B．2

C．2+2

＜

B．a(chǎn)＜

＜sin（

+1（x＞1）的最小值是（ ）

＜b C．a(chǎn)＜

＜b＜

D．

＜a＜

＜b

，π），則3cos2α=

﹣α），則sin2α的值為（ ）

C．﹣ D．﹣

，則函數(shù)y=2m?x+D．2

﹣2

9．如圖，測量河對岸的塔高AB時，可以選與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個觀測點C與D，測得∠BCD=75°，∠BDC=45°，CD=30米，并在C測得塔頂A的仰角為60°，則塔的高度AB為（ ）

A．30米 B．30米 C．15（+1）米 D．10米

=λ

+μ

，則λ+μ=（ ）

10．如圖，正方形ABCD中，M、N分別是BC、CD的中點，若

A．2 B． C． D．

）的最小正周期是π，若其圖象向右平移

個單位后得

11．已知函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜

到的函數(shù)為奇函數(shù)，則函數(shù)y=f（x）的圖象（ ） A．關(guān)于點（C．關(guān)于點（12．定義

，0）對稱 B．關(guān)于直線x=，0）對稱

對稱

對稱

，

D．關(guān)于直線x=

為n個正數(shù)p1，p2…pn的“平均倒數(shù)”．若已知數(shù)列{an}的前n項的“平均倒數(shù)”為

+…+C．

D．

又bn=A．

，則B．

+

等于（ ）

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，滿分20分

13．在下列均為正數(shù)的表格中，每行中的各數(shù)從左到右成等差數(shù)列，每列中的各數(shù)從上到下成等比數(shù)列，那么x+y+z= ． 1 y 4

x a 8

3 6 z

b，則= ．

14．在△ABC中，角A，B，C所對應(yīng)的邊分別為a，b，c，已知bcosC+ccosB=

15．已知x、y∈R，且滿足+=2，則8x+y的取值范圍是 ．

16．在實數(shù)集R中，我們定義的大小關(guān)系“＞”為全體實數(shù)排了一個“序”，類似的，我們在平面向量集D={|=（x，y），x∈R，y∈R}上也可以定義一個稱為“序”的關(guān)系，記為“?”．定義如下：對于任意兩個向量（x1，y1），個命題： ①若②若③若

=（1，0），＞＞

，

＞

=（0，1），=（0，0），則，則

＞

；

+）＞（

＞

+）；

＞?

．

?

?；

=（x2，y2），

?

=

+

當(dāng)且僅當(dāng)“x1＞x2”或“x1=x2且y1＞y2”．按上述定義的關(guān)系“?”，給出如下四

，則對于任意∈D，（

④對于任意向量＞， =（0，0）若其中真命題的序號為 ．

，則?

三、解答題：本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟 17．已知a∈（（Ⅰ）求tan（（Ⅱ）求cos（

，π），sina=+2a）的值； ﹣2a）的值．

．

．

18．已知，是同一平面內(nèi)的兩個向量，其中=（1，﹣2），||=2（Ⅰ）若∥，求向量的坐標(biāo)；

（Ⅱ）若（2﹣3）?（2+）=﹣20，求與的夾角θ的值． 19．已知函數(shù)f（x）=x﹣2x+2a，f（x）≤0的解集為{x|﹣2≤x≤m}． （Ⅰ）求a，m的值；

2

（Ⅱ）若關(guān)于x的不等式（c+a）x+2（c+a）x﹣1＜0恒成立，求實數(shù)c的取值范圍． 20．已知函數(shù)f（x）=2sinωxcosωx﹣2．

（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；

（Ⅱ）已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，角C為銳角，且f（C）=求△ABC的面積．

，c=3

，sinB=2sinA，

cosωx+

2

2

（ω＞0），且y=f（x）的圖象的兩相鄰對稱軸間的距離為

21．某廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品的年固定成本為250萬元，每生產(chǎn)x萬件，需另投入的成本為C（x）（單位：萬元），當(dāng)年產(chǎn)量小于80萬件時，C（x）=x+10x；當(dāng)年產(chǎn)量不小于80萬件時，C（x）=51x+每萬件該產(chǎn)品的售價為50萬元，且該廠當(dāng)年生產(chǎn)的該產(chǎn)品能全部銷售完． （1）寫出年利潤L（x）（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量x（萬件）的函數(shù)關(guān)系式；

（2）年產(chǎn)量為多少萬件時，該廠在該產(chǎn)品的生產(chǎn)中所獲利潤最大？最大利潤是多少？

22．已知等差數(shù)列{an}中，前n項和為Sn，a1=1，{bn}為等比數(shù)列且各項均為正數(shù)，b1=1，且滿足：b2+S2=7，b3+S3=22． （Ⅰ）求an與bn； （Ⅱ）記cn=

，求{cn}的前n項和Tn；

2

﹣1450．假設(shè)

（Ⅲ）若不等式（﹣1）?m﹣Tn＜

n

對一切n∈N恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

*

參與試題解析

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，滿分60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的

1．已知平面向量，，，下列命題正確的是（ ） A．若=， =，則= B．若||=||，則= C．若λ=0（λ為實數(shù)），則λ=0

D．若∥，∥，則∥

【考點】向量數(shù)乘的運算及其幾何意義．

【分析】根據(jù)向量相等的概念，向量的概念，向量數(shù)乘的幾何意義，以及向量平行的概念便可判斷每個選項的正誤，從而找出正確選項． 【解答】解：根據(jù)向量相等的定義，顯然向量包括大小和方向，∴

時，λ=0，或

若

得不出

，∴C錯誤；

，而得不出

，∴D錯誤．

時，得出，∴B錯誤；

，∴A正確；

，與不平行，滿足

故選：A．

2．設(shè)a，b，c∈R，且b＞a，則下列命題一定正確的是（ ） A．bc＞ac

B．b＞a

3

3

C．b＞a

22

D．＜

【考點】命題的真假判斷與應(yīng)用．

【分析】根據(jù)不等式的基本性質(zhì)，及函數(shù)的單調(diào)性，判斷四個答案的真假，可得結(jié)論． 【解答】解：∵b＞a，

當(dāng)c≤0時，bc≤ac，故A錯誤； y=x為增函數(shù)，故b＞a，故B正確；

b=1，a=﹣1時，滿足b＞a，但b=a，故C錯誤； b＞0＞a時，＞，故D錯誤； 故選：B

3．等比數(shù)列{an}中，a3a5=，則a4=（ ） A．8

B．﹣8 C．8或﹣8 D．16

2

2

3

3

3

【考點】等比數(shù)列的通項公式．

【分析】由題意和等比數(shù)列的性質(zhì)可得a4=，解方程可得． 【解答】解：∵等比數(shù)列{an}中，a3a5=， ∴由等比數(shù)列的性質(zhì)可得a4=a3a5=， 解得a4=±8， 故選：C．

4．△ABC中，AB=2，AC=3，∠B=30°，則cosC=（ ） A．

B．

C．﹣

D．±

2

2

【考點】正弦定理．

【分析】由已知及正弦定理可得sinC=函數(shù)基本關(guān)系式即可求得cosC的值． 【解答】解：∵AB=2，AC=3，∠B=30°， ∴由正弦定理可得：sinC=又∵AB＜AC，C為銳角， ∴cosC=故選：A．

5．用火柴棒擺“三角形”，如圖所示：按照規(guī)律，第5個“三角形”中需要火柴棒的根數(shù)是（ ）

=

．

=

=，

，又AB＜AC，利用大邊對大角可得C為銳角，根據(jù)同角三角

A．18 B．19 C．24 D．25

【考點】歸納推理．

【分析】根據(jù)圖象，依次寫出第1、2、3、4、5個“三角形”中需要火柴棒的根數(shù)，即可得出結(jié)論． 【解答】解：由題意，第1個“三角形”中需要火柴棒的根數(shù)是3； 第2個“三角形”中需要火柴棒的根數(shù)是3+4=7； 第3個“三角形”中需要火柴棒的根數(shù)是3+4+5=12；

第4個“三角形”中需要火柴棒的根數(shù)是3+4+5+6=18； 第5個“三角形”中需要火柴棒的根數(shù)是3+4+5+6+7=25， 故選：D．

6．設(shè)0＜a＜b，則下列不等式中正確的是（ ） A．a(chǎn)＜b＜

＜

B．a(chǎn)＜

＜

＜b C．a(chǎn)＜

＜b＜

D．

＜a＜

＜b

【考點】基本不等式．

【分析】舉特值計算，排除選項可得． 【解答】解：取a=1且b=4，計算可得選項A、B、D均矛盾，B符合題意， 故選：B 7．若a∈（A．﹣ B．﹣

，π），則3cos2α=

sin（

﹣α），則sin2α的值為（ ） =2，

=，

C．﹣ D．﹣

【考點】二倍角的正弦．

【分析】由條件利用兩角和差的正弦公式可得cosα+sinα=，平方再利用二倍角公式，求得sin2α的值． 【解答】解：∵α∈（

，π），則3cos2α=

sin（

﹣α），

∴3（cosα+sinα）?（cosα﹣sinα）=cosα﹣sinα， ∴cosα﹣sinα=0 （舍去），或cosα+sinα=，

即 cosα+sinα=，平方可得1+2cosα?sinα=1+sin2α=， ∴sin2α=﹣， 故選：C． 8．已知m=A．2

B．2

C．2+2

，則函數(shù)y=2m?x+D．2

﹣2

+1（x＞1）的最小值是（ ）

【考點】基本不等式；二倍角的正切．

【分析】利用二倍角公式求出m，再利用基本不等式，即可求出函數(shù)y=2m?x+【解答】解：∵x＞1，∴x﹣1＞0． m=y=2m?x+故選：C．

+1=x+

=tan45°=，

+1=（x﹣1）+

+2≥2

+2，

+1（x＞1）的最小值．

9．如圖，測量河對岸的塔高AB時，可以選與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個觀測點C與D，測得∠BCD=75°，∠BDC=45°，CD=30米，并在C測得塔頂A的仰角為60°，則塔的高度AB為（ ）

A．30米 B．30米 C．15（+1）米 D．10米

【考點】解三角形的實際應(yīng)用．

【分析】在△BCD中使用正弦定理得出BC，在Rt△ABC中，利用特殊角的三角函數(shù)得出AB的值． 【解答】解：∵∠BCD=75°，∠BDC=45°，∴∠CBD=60°． 在△BCD中使用正弦定理得

，即

，

∴BC==10．

∵∠BCA=60°，∴∠CAB=30°， ∴AB=

BC=30

．

故選A．

10．如圖，正方形ABCD中，M、N分別是BC、CD的中點，若

=λ

+μ

，則λ+μ=（ ）

A．2 B． C． D．

【考點】向量的線性運算性質(zhì)及幾何意義．

【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，使用坐標(biāo)進(jìn)行計算，列方程組解出λ，μ． 【解答】解：以AB，AD為坐標(biāo)軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖： 設(shè)正方形邊長為1，則∵

=λ

+μ

，

=（1，），

=（﹣，1），

=（1，1）．

∴，解得．

∴λ+μ=． 故選：D．

11．已知函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜

）的最小正周期是π，若其圖象向右平移

個單位后得

到的函數(shù)為奇函數(shù)，則函數(shù)y=f（x）的圖象（ ） A．關(guān)于點（C．關(guān)于點（

，0）對稱 B．關(guān)于直線x=，0）對稱

對稱

對稱

D．關(guān)于直線x=

【考點】正弦函數(shù)的圖象．

【分析】由周期求出ω=2，故函數(shù)f（x）=sin（2x+φ），再根據(jù)圖象向右平移（2x﹣

+φ]是奇函數(shù)，可得φ=﹣

個單位后得到的函數(shù) y=sin

，從而得到函數(shù)的解析式，從而求得它的對稱性．

【解答】解：由題意可得的圖象對應(yīng)的函數(shù)為 y=sin[2（x﹣

=π，解得ω=2，故函數(shù)f（x）=sin（2x+φ），其圖象向右平移個單位后得到

）+φ]=sin（2x﹣+φ]是奇函數(shù)，又|φ|＜，故φ=﹣，

） 關(guān)于

故函數(shù)f（x）=sin（2x﹣直線x=故選：D． 12．定義

對稱，

），故當(dāng)x=時，函數(shù)f（x）=sin=1，故函數(shù)f（x）=sin（2x﹣

為n個正數(shù)p1，p2…pn的“平均倒數(shù)”．若已知數(shù)列{an}的前n項的“平均倒數(shù)”為

+…+C．

D．

，

又bn=A．

，則B．

+

等于（ ）

【考點】數(shù)列的求和．

【分析】由題意和“平均倒數(shù)”的定義列出方程，求出數(shù)列{an}的前n項和為Sn，根據(jù)

求出an，代入bn=化簡求出bn，代入化簡后利用裂項相消法求出式子的和．

【解答】解：由題意和“平均倒數(shù)”得，設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，則Sn=2n+n， 當(dāng)n=1時，a1=S1=3， 當(dāng)n≥2時，an=Sn﹣Sn﹣1

=（2n+n）﹣[2（n﹣1）+（n﹣1）]=4n﹣1， 當(dāng)n=1時也適合上式，∴an=4n﹣1，則bn=

=n，

2

2

2

=，

∴==，

）+…+（

∴=

=

，

=（1）+（）

故選B．

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，滿分20分

13．在下列均為正數(shù)的表格中，每行中的各數(shù)從左到右成等差數(shù)列，每列中的各數(shù)從上到下成等比數(shù)列，那么x+y+z= 16 ． 1 y 4

x a 8

3 6 z

【考點】等比數(shù)列的通項公式；等差數(shù)列的通項公式．

【分析】由題意得x，y，z都是正數(shù)，且1，x，3成等差數(shù)列，1，y，4成等比數(shù)列，4，8，z成等差數(shù)列，由此能求出x+y+z的值．

【解答】解：由題意得x，y，z都是正數(shù)，且： 1，x，3成等差數(shù)列，∴x=1，y，4成等比數(shù)列，∴y=

， =2，

4，8，z成等差數(shù)列，∴z=8+（8﹣4）=12， ∴x+y+z=2+2+12=16． 故答案為：16．

14．在△ABC中，角A，B，C所對應(yīng)的邊分別為a，b，c，已知bcosC+ccosB=【考點】正弦定理．

【分析】已知等式利用正弦定理化簡，再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及誘導(dǎo)公式化簡，再利用正弦定理變形即可得到結(jié)果． 【解答】解：將bcosC+ccosB=即sin（B+C）=

sinB，

b，利用正弦定理化簡得：sinBcosC+sinCcosB=

sinB， b，則=

．

∵sin（B+C）=sinA， ∴sinA=

sinB，

b，

利用正弦定理化簡得：a=則=

．

．

故答案為：

+

15．已知x、y∈R，且滿足+=2，則8x+y的取值范圍是 [9，+∞） ．

【考點】基本不等式．

【分析】利用已知條件，結(jié)合基本不等式求解表達(dá)式的最值即可． 【解答】解：∵x、y∈R，且滿足+=2， ∴8x+y=（+）（8x+y）=（10++當(dāng)且僅當(dāng)=

）≥（10+8）=9，

+

，即x=，y=3時，取等號，

∴8x+y的取值范圍是[9，+∞）． 故答案為：[9，+∞）．

16．在實數(shù)集R中，我們定義的大小關(guān)系“＞”為全體實數(shù)排了一個“序”，類似的，我們在平面向量集D={|=（x，y），x∈R，y∈R}上也可以定義一個稱為“序”的關(guān)系，記為“?”．定義如下：對于任意兩個向量（x1，y1），個命題： ①若②若③若

=（1，0），＞＞

，

＞

=（0，1），=（0，0），則，則

＞

；

+）＞（

＞

+）；

＞?

．

?

?；

=（x2，y2），

?

=

當(dāng)且僅當(dāng)“x1＞x2”或“x1=x2且y1＞y2”．按上述定義的關(guān)系“?”，給出如下四

，則對于任意∈D，（

④對于任意向量＞， =（0，0）若其中真命題的序號為 ①②③ ． 【考點】平面向量數(shù)量積的運算． 【分析】根據(jù)已知條件中，

?

，則?

當(dāng)且僅當(dāng)“x1＞x2”或“x1=x2且y1＞y2”．按上述定義的關(guān)系“?”，判斷各個

選項是否正確，從而得出結(jié)論． 【解答】解：對于任意兩個向量或“x1=x2且y1＞y2”， 對于①，若

=（1，0），

=（0，1），=（0，0），則

=（x2，y2），

，且

?

，

，故①正確． ?

，

=（x1，y1），

=（x2，y2），

?

當(dāng)且僅當(dāng)“x1＞x2”

對于②，設(shè)向量=（x1，y1），=（x3，y3），若

則有“x1＞x2”或“x1=x2且y1＞y2”，“x2＞x3”或“x2=x3且y2＞y3”． 故有“x1＞x3”或“x1=x3且y1＞y3”．故有

?

．

對于③，若?，則對于任意∈D，設(shè)=（x，y），=（x1，y1），=（x2，y2），

∵“x1＞x2”或“x1=x2且y1＞y2”，∴“x+x1＞x+x2”或“x+x1=x+x2且y+y1＞y+y2”， ∴（

+）?（

+），故③正確．

=（x1，y1），

=（x2，y2），

對于④，設(shè)設(shè)=（x，y），

由?，得“x＞0”或“x=0且y＞0”； 由

?

，得“x1＞x2”或“x1=x2且y1＞y2”；

可得“x=0且y＞0”且“x1＞x2且y1＜y2”，故有“xx1=xx2且yy1＜yy2”， 所以

?

不成立，所以④不正確，

故答案為：①②③．

三、解答題：本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟 17．已知a∈（（Ⅰ）求tan（（Ⅱ）求cos（

，π），sina=+2a）的值； ﹣2a）的值．

．

【考點】三角函數(shù)的化簡求值．

【分析】（Ⅰ）由已知條件求出cosα的值，再求出tanα和tan2α的值，根據(jù)誘導(dǎo)公式進(jìn)一步求出tan（的值；

（Ⅱ）由sinα和cosα的值，求出sin2α和cos2α的值，根據(jù)誘導(dǎo)公式進(jìn)一步求出cos（【解答】解：（Ⅰ）∵sina=∴cosα=

，a∈（

，π），

．

﹣2a）的值．

+2a）

∴．

則

∴tan（+2a）==；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，

=，

，

cos（=

﹣2a）=

．

18．已知，是同一平面內(nèi)的兩個向量，其中=（1，﹣2），||=2（Ⅰ）若∥，求向量的坐標(biāo)；

（Ⅱ）若（2﹣3）?（2+）=﹣20，求與的夾角θ的值．

．

【考點】平面向量數(shù)量積的運算；平面向量共線（平行）的坐標(biāo)表示． 【分析】（Ⅰ）可設(shè)從而得出向量的坐標(biāo)； （Ⅱ）根據(jù)條件便可得出

得出

【解答】解：（Ⅰ）設(shè)

；

，且

，這樣進(jìn)行向量數(shù)量積的運算便可由

的值，從而求出與的夾角．

，這樣根據(jù)條件即可建立關(guān)于x，y的方程組，解該方程組即可求出，x，y，

的值，進(jìn)而求出

，根據(jù)條件，則：

解得∴（Ⅱ）∴解得∴∴

，或；

，或（2，﹣4）；

； =

；

=

；

；

=

；

∴

．

19．已知函數(shù)f（x）=x﹣2x+2a，f（x）≤0的解集為{x|﹣2≤x≤m}． （Ⅰ）求a，m的值；

（Ⅱ）若關(guān)于x的不等式（c+a）x+2（c+a）x﹣1＜0恒成立，求實數(shù)c的取值范圍． 【考點】二次函數(shù)的性質(zhì)；函數(shù)恒成立問題．

【分析】（Ⅰ）得到﹣2，m是方程x﹣2x+2a=0的根，組成方程組，解出即可； （Ⅱ）通過討論c的范圍結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求出c的范圍即可． 【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）≤0的解集為{x|﹣2≤x≤m}， ∴﹣2，m是方程x﹣2x+2a=0的根， ∴

，

2

22

2

解得：a=﹣4，m=4； （Ⅱ）由（Ⅰ）得：a=﹣4， （c+a）x+2（c+a）x﹣1＜0， 即（c﹣4）x+2（c﹣4）x﹣1＜0， c﹣4=0，即c=4時，﹣1＜0，成立， c﹣4≠0時，

若關(guān)于x的不等式（c+a）x+2（c+a）x﹣1＜0恒成立， 則

，

2

22

解得：綜上，

＜c＜4， ＜c≤4．

20．已知函數(shù)f（x）=2sinωxcosωx﹣2．

（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；

cosωx+

2

（ω＞0），且y=f（x）的圖象的兩相鄰對稱軸間的距離為

（Ⅱ）已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，角C為銳角，且f（C）=求△ABC的面積．

，c=3，sinB=2sinA，

【考點】三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用；正弦函數(shù)的圖象；正弦定理．

【分析】（Ⅰ）利用二倍角公式及輔助角公式將f（x）化簡，由y=f（x）的圖象的兩相鄰對稱軸間的距離為求得ω的值，求得f（x）的解析式，利用正弦函數(shù)單調(diào)性求得f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間； （Ⅱ）f（C）=

，C為銳角，求得C，由正弦定理可知：sinB=2sinA，b=2a，代入余弦定理求得a和b的值，

根據(jù)三角形的面積公式，可求得△ABC的面積． 【解答】解：f（x）=2sinωxcosωx﹣2=sin2ωx﹣

cos2ωx，

），

，又（ω＞0），

，

cosωx+

2

，

=2sin（2ωx﹣

y=f（x）的圖象的兩相鄰對稱軸間的距離為解得：ω=1， ∴f（x）=2sin（2x﹣由﹣

+2kπ≤2x﹣

）， ≤

+2kπ，（k∈Z），解得：﹣+kπ，）=

，

+kπ≤x≤+kπ，（k∈Z），

∴f（x）單調(diào)遞增區(qū)間為[﹣（Ⅱ）f（C）=2sin（2C﹣∴2C﹣∴C=

=或

或，

，

+kπ]，（k∈Z）；

∵角C為銳角， ∴C=

，

sinB=2sinA，由正弦定理可知：b=2a，

由余弦定理可知：c=a+b﹣2abcosC，即18=a+4a﹣2×a×2a×， 解得a=b=2

，

×2

×

=3

．

，

2

2

2

2

2

S△ABC=absinC=×

21．某廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品的年固定成本為250萬元，每生產(chǎn)x萬件，需另投入的成本為C（x）（單位：萬元），當(dāng)年產(chǎn)量小于80萬件時，C（x）=x+10x；當(dāng)年產(chǎn)量不小于80萬件時，C（x）=51x+每萬件該產(chǎn)品的售價為50萬元，且該廠當(dāng)年生產(chǎn)的該產(chǎn)品能全部銷售完． （1）寫出年利潤L（x）（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量x（萬件）的函數(shù)關(guān)系式；

（2）年產(chǎn)量為多少萬件時，該廠在該產(chǎn)品的生產(chǎn)中所獲利潤最大？最大利潤是多少？ 【考點】函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用；函數(shù)解析式的求解及常用方法． 【分析】（1）分兩種情況進(jìn)行研究，當(dāng)0＜x＜80時，投入成本為銷售收入﹣成本，列出函數(shù)關(guān)系式，當(dāng)x≥80時，投入成本為

售收入﹣成本，列出函數(shù)關(guān)系式，最后寫成分段函數(shù)的形式，從而得到答案；

（2）根據(jù)年利潤的解析式，分段研究函數(shù)的最值，當(dāng)0＜x＜80時，利用二次函數(shù)求最值，當(dāng)x≥80時，利用基本不等式求最值，最后比較兩個最值，即可得到答案． 【解答】解：（1）∵每件商品售價為0.005萬元， ∴x千件商品銷售額為0.005×1000x萬元， ①當(dāng)0＜x＜80時，根據(jù)年利潤=銷售收入﹣成本， ∴

②當(dāng)x≥80時，根據(jù)年利潤=銷售收入﹣成本， ∴

=

．

=

；

（萬元），根據(jù)年利潤=

，根據(jù)年利潤=銷

2

﹣1450．假設(shè)

綜合①②可得，．

（2）由（1）可知，，

①當(dāng)0＜x＜80時， =，

∴當(dāng)x=60時，L（x）取得最大值L（60）=950萬元； ②當(dāng)x≥80時，當(dāng)且僅當(dāng)

=1200﹣200=1000，

，即x=100時，L（x）取得最大值L已知等差數(shù)列{an}中，前n項和為Sn，a1=1，{bn}為等

比數(shù)列且各項均為正數(shù)，b1=1，且滿足：b2+S2=7，b3+S3=22．

（Ⅰ）求an與bn； （Ⅱ）記cn=

，求{cn}的前n項和Tn；

（Ⅲ）若不等式（﹣1）?m﹣Tn＜【考點】數(shù)列的求和；數(shù)列遞推式．

n

對一切n∈N恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

*

【分析】（I）設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，等比數(shù)列{bn}的公比為q＞0，由a1=1，b1=1，且滿足：b2+S2=7，b3+S3=22．可得q+2+d=7，q+3+3d=22，聯(lián)立解出即可得出． （Ⅱ）cn=

=

，利用“錯位相減法”與等比數(shù)列的求和公式即可得出．

2

（Ⅲ）不等式（﹣1）?m﹣Tn＜

n

，即（﹣1）?m﹣4+（2+n）

n

＜，化為：（﹣1）?m

n

＜4﹣．對n分類討論，利用數(shù)列的單調(diào)性即可得出．

【解答】解：（I）設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，等比數(shù)列{bn}的公比為q＞0， ∵a1=1，b1=1，且滿足：b2+S2=7，b3+S3=22． ∴q+2+d=7，q+3+3d=22，聯(lián)立解得q=4，d=1． ∴an=1+（n﹣1）=n，bn=4（Ⅱ）cn=

=

n﹣1

2

．

=

，

∴{cn}的前n項和Tn=1+∴

=

+3×+…+（n﹣1）

+…+

+n

， ，

∴=1+++…+﹣n=﹣=2﹣（2+n），

∴Tn=4﹣（2+n）

n

．

，即（﹣1）?m﹣4+（2+n）

n

（Ⅲ）不等式（﹣1）?m﹣Tn＜

n

＜，

化為：（﹣1）?m＜4﹣

．

當(dāng)n為偶數(shù)時，m＜4﹣=．

當(dāng)n為奇數(shù)時，﹣m≤4，解得m≥﹣4． ∵（﹣1）?m﹣Tn＜n

對一切n∈N恒成立，

*

∴

．

∴實數(shù)m的取值范圍是

．

2016年8月12日