矩陣是學(xué)好線(xiàn)性代數(shù)這門(mén)課程的基礎(chǔ)，而對(duì)于初學(xué)者來(lái)講，對(duì)于矩陣的理解是尤為的重要；許多學(xué)生在最初的學(xué)習(xí)過(guò)程中感覺(jué)矩陣很難，這也是因?yàn)閷?duì)矩陣所表示的內(nèi)涵模糊的緣故。其實(shí)當(dāng)我們把矩陣與我們的實(shí)際生產(chǎn)經(jīng)濟(jì)活動(dòng)相聯(lián)系的時(shí)候，我們才會(huì)發(fā)現(xiàn)，原來(lái)用矩陣來(lái)表示這些“繁瑣”的事物來(lái)是多么的奇妙！于是當(dāng)我們對(duì)矩陣產(chǎn)生無(wú)比的興奮時(shí)，那么一切問(wèn)題都會(huì)變得那么的簡(jiǎn)單!

知識(shí)要點(diǎn)解析

2.1.1 矩陣的概念

1．矩陣的定義

由m×n個(gè)數(shù)aij(i?1,2,?,m;j?1,2,?,n)組成的m行n列的矩形數(shù)表

?a11??a A??21???a?m1a12a22???a1n??a2n? ???amn??am2?稱(chēng)為m×n矩陣，記為A?(aij)m?n 2．特殊矩陣

（1）方陣：行數(shù)與列數(shù)相等的矩陣；

（2）上（下）三角陣：主對(duì)角線(xiàn)以下（上）的元素全為零的方陣稱(chēng)為上（下）

三角陣；

（3）對(duì)角陣：主對(duì)角線(xiàn)以外的元素全為零的方陣； （4）數(shù)量矩陣：主對(duì)角線(xiàn)上元素相同的對(duì)角陣；

（5）單位矩陣：主對(duì)角線(xiàn)上元素全是1的對(duì)角陣，記為E； （6）零矩陣：元素全為零的矩陣。 3．矩陣的相等 設(shè)A?(aij)mn;B?(bij)mn

若 aij?bij(i?1,2,?,m;j?1,2,?,n)，則稱(chēng)A與B相等，記為A=B。

2.1.2 矩陣的運(yùn)算

1．加法

（1）定義：設(shè)A?(Aij)mn,B?(bij)mn，則C?A?B?(aij?bij)mn （2）運(yùn)算規(guī)律

① A+B=B+A； ③ A+O=A

②（A+B）+C=A+（B+C）

④ A+（-A）=0， –A是A的負(fù)矩陣

2．?dāng)?shù)與矩陣的乘法

（1）定義：設(shè)A?(aij)mn,k為常數(shù)，則kA?(kaij)mn

（2）運(yùn)算規(guī)律 ① K (A+B) =KA+KB, ② (K+L)A=KA+LA,

③ (KL) A= K (LA)

3．矩陣的乘法

（1）定義：設(shè)A?(aij)mn,B?(bij)np.則

AB?C?(Cij)mp,其中Cij??ak?1nikbkj

（2）運(yùn)算規(guī)律

①(AB)C?A(BC)；②A(B?C)?AB?AC ③(B?C)A?BA?CA （3）方陣的冪

①定義：A?(aij)n，則Ak?A?A

K②運(yùn)算規(guī)律：Am?An?Am?n；(Am)n?Amn （4）矩陣乘法與冪運(yùn)算與數(shù)的運(yùn)算不同之處。

①AB?BA

②AB?0,不能推出A?0或B?0;

③(AB)k?Ak?Bk 4．矩陣的轉(zhuǎn)置

（1）定義：設(shè)矩陣A=(aij)mn，將A的行與列的元素位置交換，稱(chēng)為矩陣A的轉(zhuǎn)置，記為AT?(aji)nm，

（2）運(yùn)算規(guī)律

①(AT)T?A; ③(kA)T?KAT;

②(A?B)T?AT?BT； ④(AB)T?BTAT。

（3）對(duì)稱(chēng)矩陣與反對(duì)稱(chēng)矩陣

若AT?A,則稱(chēng)A為對(duì)稱(chēng)陣；

AT??A，則稱(chēng)A為反對(duì)稱(chēng)陣。

5．逆矩陣

（1）定義：設(shè)A為n階方陣，若存在一個(gè)n階方陣B，使得AB=BA=E，則稱(chēng)

A為可逆陣，B為A的逆矩陣，記作B?A?1。

（2）A可逆的元素條件：

A可逆?A?0

（3）可逆陣的性質(zhì)

①若A可逆，則A-1也可逆，且(A-1)-1 =A； ②若A可逆，k≠0，則kA可逆，且(kA)?1?1?1A； k③若A可逆，則AT也可逆，且(AT)?1?(A?1)T； ④若A，B均可逆，則AB也可逆，且(AB)?1?B?1A?1。 （4）伴隨矩陣

①定義：A*?(Aij)Tn，其中Aij為aij的代數(shù)余子式， ②性質(zhì)：

i）AA*?A*A?AE； iii）(A*)*?An?2 ii）A*?A

n?1；

A；

iv）若A可逆，則A*也可逆，且(A*)?1?(A?1)*?③用伴隨矩陣求逆矩陣公式：A?1?2.1.3 方陣的行列式

1*A A1A A1．定義：由n階方陣A的元素構(gòu)成的n階行列式（各元素的位置不變）叫

做方陣A的行列式，記為A或detA。

2．性質(zhì)：

（1）AT?A，

（2）kA?knA，

（3）AB?AB，

（4）A?1?1 A3．特殊矩陣的行列式及逆矩陣

(1) 單位陣E：E?1;E?1?E；

(2) 數(shù)量矩陣kE：kE?kn;當(dāng)k?0時(shí),(kE)?1?E (3)對(duì)角陣：

??1????????*1k?2?????,??n??則???1?2??n;

?1???1??1若?1?2??n?0，則????????1?2?????? ??1??n??4． 上（下）三角陣

?a11??設(shè)A?????*a22?????,則A?a11a22?ann ?ann??若A?0，則A?1仍為上（下）三角陣

2.1.4 矩陣的初等變換與初等矩陣

1．矩陣的初等變換 （1）定義：以下三種變換

①交換兩行（列）；

②某行（列）乘一個(gè)不為零的常數(shù)k；

③某行（列）的k倍加到另一行（列）上去，稱(chēng)為矩陣的初等變換。

2．初等矩陣

（1）定義：將n階單位陣E進(jìn)行一次初等變換得到的矩陣稱(chēng)為初等矩陣；

交換i ,j兩行（列），記為E(i, j)；

第i行（列）乘以不為零的常數(shù)k記為E(i(k))；

第j行的k倍加到第i行上去，記為E(j(k)i； （2）初等矩陣的性質(zhì)

初等陣是可逆陣，且逆陣仍為同型的初等陣； 而[E(ij)]?1?E(ij)?1?[E(i(k))]?1?E(i??)

?k?[E(j(k) i)]?1?E[j(?k) i]

（3）方陣A可逆與初等陣的關(guān)系

若方陣A可逆，則存在有限個(gè)初等陣P1,P2,?,Pt，使A?P1P2?Pt，

（4）初等陣的行列式

E(ij)??1,E(i(k))?k,E(j(k) i)?1

（5）初等陣的作用：

對(duì)矩陣A進(jìn)行一次初等行（列）變換，相當(dāng)于用相應(yīng)的初等陣左（右）乘矩陣A，且

E(ij)A??A,E(i(k))A?kA,E(j(k) i)?A

3．矩陣的等價(jià)

（1）定義：若矩陣A經(jīng)過(guò)有限次初等變換變到矩陣B，則稱(chēng)A與B等價(jià)， （2）A與B等價(jià)的三種等價(jià)說(shuō)法，

①A經(jīng)過(guò)一系列初等變換變到B；

②存在一些初等陣E1,?,Es,F1,?,Ft，使得Es?E1AF1?Ft?B ③存在可逆陣P，Q，使得PAQ=B

2.1.5 分塊矩陣

1．分塊矩陣的定義

以子塊為元素的形式上的矩陣稱(chēng)為分塊矩陣。 2．分塊矩陣的運(yùn)算

（1）設(shè)A，B為同型矩陣，采用相同的分法有

?A11??A A??21???A?s1????A1t??A2t???Ast???B11??BB??21???B?s1????B1t??B2t? ???Bst??則

A?B?(Aij?Bij)(i?1,2,?,s;j?1,2,?,t)

（2）kA?(kAij)(i?1,2,?,s;j?1,2,?,t)

（3）設(shè)A?(aij)mn,B?(bij)np,分塊成

?A11?? A?????A??s1A1t????Ast???B11??B?????B??t1B1r???? Btr??其中Ai1,Ai2,?,Ait的列數(shù)分別等于B1j,B2j,?,Btj的行數(shù)，則

AB?C?(cij)sr，其中cij??Ak?1tikBkj(i?1,2,3,?,s; j?1,2,?,r)

3．準(zhǔn)對(duì)角陣 （1）定義：形如

?A1??A?????A2????? Ai為ni階方陣的矩陣稱(chēng)為準(zhǔn)對(duì)角陣。 ?As??（2）準(zhǔn)對(duì)角陣的行列式及逆矩陣

?A1??設(shè)A?????A2????則A?A1A2?As；若每個(gè)Ai可逆，則A可逆，?，?As??且

?A1?1??????????? ??1?As?A?1?1A2?（3）特殊的準(zhǔn)對(duì)角陣

?A1（i）A?????（ii）A???A?2?A1?1??1?，若A1, A2可逆，則A???A2????A1??1??，若A, A可逆，則A?12??A?1??1D??是B?0,C?0,則A?BC?0 ?C??? ?1?A2??1?A2? ??（iii）A????B?O且

?B?1A???0??1?B?1DC?1?? ?1?C?（iv）A????B0???,B?0,C?0，則 DC???B?10??A????C?1DB?1C?1?

???1 經(jīng)典題型解析

2.2.1 矩陣的運(yùn)算

?1L2?1、若?2L1L ????c115?2L1=?c??????1c??1LbL2???3L?1??22???則c= 解：由4?1?a?5得a=0, c11=4 而-1+2b+6=-1得b=-3, c22=-7

?45? 從而 c=??

??1?7? 提示：對(duì)于最基本的矩陣的四則運(yùn)算我們一定要爛熟于心。

12（A）?____. 2、設(shè)A為三階矩陣，且A?4,則21212?1?1 解：（A）?A???gA2?

244?4?易錯(cuò)提示：本題是道特別基本的有關(guān)矩陣基本性質(zhì)的類(lèi)型題，考生易犯的錯(cuò)

12（A）誤就是對(duì)矩陣進(jìn)行行列式計(jì)算時(shí)，把的階數(shù)給忘記計(jì)算。 233、設(shè)A為3?3矩陣，B為4?4，且A?1則BA?___. ，B??2，解：BA?BA???2?g1??8.

3易錯(cuò)題示：本題同上，但還應(yīng)值得我們注意的是，在計(jì)算時(shí)

BA?BA???2?g1??2是我們常犯的錯(cuò)誤。

34、設(shè)A??1L2L3?，B??1L1L1?，則?ATB??___.

k解：?ATB???ATB?g?ATB?????ATB??AT(BAT)(BAT)???(BAT)B

k?1??1L1L1????? ?6k?1?2??1L1L??6k?1?2L2L2?.

?3??3L3L3??????1???易錯(cuò)提示：本題關(guān)鍵是要求我們注意到ATB是矩陣，但BAT=?1L1L1??2?=6?3???卻是數(shù)，

?1L1L1??1L1L1?????倘若先計(jì)算ATB??2L2L2?，然后再求?2L2L2?，則計(jì)算式相當(dāng)繁瑣的。

?3L3L3??3L3L3?????k?1L0L1?n??5、設(shè)A??0L1L0?，求?A?.

?0L0L1???解：

方法一：數(shù)學(xué)歸納法.

?1L0L1??1L0L2????? 因?yàn)锳??0L1L0?，A2?AgA??0L1L0?，

?0L0L1??0L0L1??????1L0L3???A3?A2gA??0L1L0?，

?0L0L1????1L0Ln?1??? 一般的，設(shè)An-1??0L1L0?，

?0L0L1????1L0Ln?1??1L0L1??1L0Ln???????則An?An?1gA??0L1L0??0L1L0???0L1L0?.

?0L0L1??0L0L1??0L0L1????????1L0Ln???所以，有歸納法知An??0L1L0?。

?0L0L1???個(gè)An748n方法二：因?yàn)锳是初等矩陣，A?EgAgA???A，相當(dāng)于對(duì)單位矩陣

?1L0L0???E=?0L1L0?，施行了n次初等列變換（把第一列加到第三列），故?0L0L1????1L0Ln???An??0L1L0?。

?0L0L1???方法三：利用對(duì)角矩陣和主對(duì)角線(xiàn)上為零的上三角矩陣冪的特點(diǎn)來(lái)進(jìn)行計(jì)算。

?1L0L1??1L0L0??0L0L1??????? 令 A=?0L1L0???0L1L0???0L0L0??E?B，

?0L0L1??0L0L1??0L0L0????????0L0L1???其中B??0L0L0?，

?0L0L0????0L0L1??0L0L1??0L0L0???????又因?yàn)锽2??0L0L0??0L0L0???0L0L0?，所以Bk?O(k?2)。

?0L0L0??0L0L0??0L0L0????????1L0Ln???故有 An?En?ngEn?1B?E?nB??0L1L0?.

?0L0L1???提示：除上述方法外，本題還可以與后面的特征值聯(lián)系起來(lái)計(jì)算，方法也算不少，讀者只需選擇一種或幾種適合自己的且快捷簡(jiǎn)便的方法為宜。

?308???6、設(shè)矩陣A??316?，求A100?2A50。

??205?????3L0L?8解：A的特征多項(xiàng)式f(?)??E?A??3L??1L?6?(??1)(??1)2，

2L0L??5則f(?)有根1，-1（二重）。

若設(shè)g(?)=?100?2?50，那么所求A100?2A50?g(A)， 而

dg(?)?100??100?49， d?由代數(shù)學(xué)中的整除性質(zhì)，?q(?),st g(?)=q(?)f(?)?a?2?b??c，

??-1=1100-2?150=g(1)=q(1)f(1)?a?b?c?a?b?c，?10050 2-1）?q(-1)f(?1)?a?b?c?a?b?c，?-1=（-1）?（?dg(?)?0=-100+100=（???1）??2a?b,d??解之得：a=b=0,c=-1。

所以，g(?)=q(?)f(?)?1，從而A100?2A50?g(A)=q(A)f(A)?E??E。 點(diǎn)評(píng)：本題可謂是到綜合性極強(qiáng)的一道題，對(duì)于解這種類(lèi)型題時(shí)，讀者除需要掌握牢固扎實(shí)的基礎(chǔ)知識(shí)外，還應(yīng)具備真正能夠做到各知識(shí)點(diǎn)前后相連，融會(huì)貫通的能力。所以，我們平時(shí)學(xué)習(xí)是應(yīng)該養(yǎng)成多動(dòng)腦，勤思考，?？偨Y(jié)得好習(xí)慣。

?2??07、設(shè)A??0??0?100??200?，求An。 ?039?013???B0??21??39?????B?C?，其中，??02??13?? 0C??????n解：由分塊矩陣知A????Bn∴ A???0?0?? n?C?又 B????20??01??????2E?P ????02??00?∴ Bn??2E?P?n?(2E)n?n(2E)n?1P

?2n ???0?n2n?1?? n?2?n?39??39?n?1?39?????而?的秩為1，有?6?13??13??13??

???????2n??0從而An???0?0?n?2n?12n00003?6n?16n?1??0? n?1?9?6?3?6n?1??0

2.2.2 矩陣的逆（逆矩陣）及其運(yùn)用

1、設(shè)A為三階方陣，A*為A的伴隨矩陣，A?解：因?yàn)锳*?AA?1?1-11（A）?8A* ，計(jì)算381?1A，所以81-11（A）?8A*?3A?1?A?1?2A?1?23?。 3A易錯(cuò)提示：切記將2提出時(shí)應(yīng)為2k，其中k為該矩陣的階數(shù)。 2、已知矩陣A滿(mǎn)足關(guān)系式A2?2A?3E?O，求?A?4E?。 解：因?yàn)镺?A2?2A?3E??A+4E??A-2E?+8E-3E

1??2 ??A?4E??A-2E???5E??A?4E??E?A??E，

5??5-1 ??A?4E??-121E?A. 55思路提示：遇到有關(guān)此類(lèi)問(wèn)題時(shí)，我們首先應(yīng)想到的是把所求問(wèn)題的因式給分解出來(lái)，那么問(wèn)題就會(huì)變得容易多了。

3、設(shè)n階可逆矩陣A???1,?2,????n?，?i為n維列向量（i=1,2,…n）, ?為n維非零列向量，且與?1,?2,????n?1均正交， 則B???1,?2,????n?1,??可逆。

解：要證明矩陣B可逆，我們這里只需要證明向量組?1,?2,????n?1,?線(xiàn)性無(wú)關(guān)

即可。

為此，我們令：

k1?1?k2?2?????kn?1?n?1?kn??0， 兩邊同乘以?T，即

k1?T?1?k2?T?2?????kn?1?T?n?1?kn?T??0， Q?T?i?0，（i=1,2,…n-1）且?T??0

?kn?T??0

我們可以得出kn?0，那么即得：k1?T?1?k2?T?2?????kn?1?T?n?1?0， 又QA是可逆矩陣，

? ?1,?2,????n?1線(xiàn)性無(wú)關(guān)。

從而我們有k1=k2=???=kn=0，即證明了?1,?2,????n?1,?線(xiàn)性無(wú)關(guān)， 同時(shí)也就說(shuō)明了矩陣B???1,?2,????n?1,??是可逆矩陣。

思路提示：對(duì)于這某矩陣時(shí)可逆矩陣的方法也算不少，這里我們不妨預(yù)先前所熟悉的線(xiàn)性方程組來(lái)建立聯(lián)系。這就要求我們對(duì)與矩陣與線(xiàn)性方程組建的關(guān)系要特別的熟悉與掌握，這對(duì)于今后解線(xiàn)性方程組也會(huì)只很有幫助的。事實(shí)上，對(duì)于m?n矩陣A，我們可以把其每一列看作一列向量（記為?1,?2,????n），則

A=（?1,?2,????n），這就很形象的轉(zhuǎn)化為線(xiàn)性方程組問(wèn)題了，而A=（?1,?2,????n）可逆?向量組?1,?2,????n線(xiàn)性無(wú)關(guān)。

4、設(shè)A為n階實(shí)矩陣，若A+AT為正定矩陣，則A為可逆矩陣。 證明：用反證法

假設(shè)A為不可逆矩陣，

則?n維列向量X0?0，使得AX0?0，

TA+AT）X0?X0TAX0?X0TATX0?X0T(AX0)?(AX0)TX0 而對(duì)于X0（ =X0T0?0TX0?0，

TA?AT）X0?0， 從而我們知存在X0?0，使得X0（ 但這與A+AT為正定矩陣相矛盾，從而假設(shè)不成立，

這也就說(shuō)明了A為可逆矩陣。

點(diǎn)評(píng)：對(duì)于一些證明題，當(dāng)我們感覺(jué)無(wú)處下手之時(shí)，不妨嘗試一下反證法，很

多時(shí)候反證法也未嘗不是條光明道路。對(duì)于如何說(shuō)明矩陣A是正定矩陣，我們應(yīng)掌握以下幾個(gè)等價(jià)定理：

(1)定義法（最基本，也較常用，本題就是利用次方法來(lái)證明出矛盾來(lái)的的）；

(2)來(lái)說(shuō)明A的所有特征值全部都大于零；

(3)來(lái)說(shuō)明A的所有順序主子式都大于零（這種方法再給出具體的矩陣表

達(dá)形式時(shí)較常用）;

(4)存在可逆矩陣P，使得A=PTP; (5)存在正交矩陣S，使得A=S2;

??1K?(6)存在正交矩陣Q，使得QTAQ?Q-1AQ=?MO?0L?0??M?，?i?0(i?1,2,???n)。 ?n??22?3x3?4x1x2?4x1x3?8x2x3， 5、已知二次型f(x1,x2,x3)?4x2 (1)寫(xiě)出該二次型的矩陣表達(dá)式；

(2)用正交矩陣的方法把該二次型化為標(biāo)準(zhǔn)性，并寫(xiě)出對(duì)應(yīng)的正交矩陣。 解：

（1）f的矩陣表達(dá)式為

?02?2??x1????? f(x1,x2,x3)?(x1,x2,x3)?244??x2?；

??24?3??x????3?（2）由（1）得知該二次型的矩陣為

?02?2??? A??244?，

??24?3??? A的特征方程為

??22 ?E?A??2??4?4?(??1)(??6)(??6)=0， 2?4??3由此可得出A的特征值：?1?1，?2?6，?3??6，對(duì)應(yīng)的特征向量為

?2??1??1??????? ?1=?0?，?2=?5?，?3=??1?。

??1??2??2???????對(duì)應(yīng)的單位特征向量為：

?1??1??2?????306?5????????5??1?，??，?? ?1??0?23?????。

6??1??30??????2??2???5???????30??6??2??5?因此可得正交矩陣 Q???1,?2,?3???0??1??5?1305302301??6?1???， 6?2??6?那么對(duì)二次型f做正交變換X?QY，則該二次型就可以化為標(biāo)準(zhǔn)型

22?6y3 f(x1,x2,x3)?y12?6y2。

點(diǎn)評(píng)：化二次行為標(biāo)準(zhǔn)形式二次型矩陣最常見(jiàn)的一種題型 ，在研究生入學(xué)考試中也是個(gè)重要的考察知識(shí)點(diǎn)，但題目一般難度不大，解答事業(yè)都有固定的模式，但它卻要求我們必須仔細(xì)對(duì)待，切不可有所懈怠。 6、二次曲面S在空間直角坐標(biāo)系中的方程為 x2?4y2?z2?4xy?8xz?4yz?1?0，

做直角坐標(biāo)變換，把它化成標(biāo)準(zhǔn)方程，并且指出S是什么樣的二次曲面？ 解：首先把方程左端的二次項(xiàng)部分

f(x,y,z)=x2?4y2?z2?4xy?8xz?4yzLLLLLL（?）

經(jīng)正交變換化成標(biāo)準(zhǔn)型。而二次型矩陣A為

?1?2?4??? A=??24?2?，

??4?21????5??5?25同時(shí)，根據(jù)上題知，我們可以找到正交矩陣T=??5????0??500???使得T-1AT??050?。于是我們做正交變換

?00?4????x??u?????y?T ???v?LLLLLLLLLL（?）?z??w?????451525155?32??3?1??， 3?2??3??則，可以把原而次型（*）化成下述的標(biāo)準(zhǔn)型： f(x,y,z)=5u2+5v2-4w2，

因此，這里我們只需要做直角變換（?），原二次曲面在新坐標(biāo)系中的方程是

5u2+5v2-4w2?1。

并且，由此方程我們可以看出，S是單葉雙曲面。

點(diǎn)評(píng)：通過(guò)正交變換把二次曲面方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程是矩陣在幾何上的一個(gè)重要的應(yīng)用；除此方法之外，有時(shí)我們還可以用配方法來(lái)代替正交變換法對(duì)二次曲面方程進(jìn)行化簡(jiǎn)，坐標(biāo)變換，從而得到其標(biāo)準(zhǔn)方程。