折疊可以帶來(lái)全等圖形，在平行四邊形中，對(duì)角線把它分成全等的三角形，因此在四邊形中經(jīng)常會(huì)遇到折疊問(wèn)題。解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵是要注意觀察折疊前后的圖形，發(fā)現(xiàn)它們之間的關(guān)系，找到邊、角中的變量和不變量，尋找全等三角形，同時(shí)還會(huì)經(jīng)常綜合運(yùn)用到四邊形的有關(guān)知識(shí)。 一、例題講解

例1 如圖，將一張對(duì)邊平行的紙條先沿EF折疊，點(diǎn)A、B分別落在A'、B'處，線段FB?與AD交于點(diǎn)M，再將紙條的另一部分CFMD沿MN折疊，點(diǎn)C、D分別落在C'、D'處，且使MD?經(jīng)過(guò)點(diǎn)F． （1）求證：四邊形MNFE是平行四邊形； （2）當(dāng)翻折角∠BFE? 度時(shí)，

四邊形MNFE是菱形．（將答案直接 填寫在橫線上）

（1）求證：△FAC是等腰三角形；

（2）若AB=4，BC=6，求△FAC的周長(zhǎng)和面積.

BCACNC'FD'BA'B'DMEA例2 如圖，把矩形紙片ABCD沿對(duì)角線AC折疊，點(diǎn)B落在點(diǎn)E處，EC與AD相交于點(diǎn)F.

EFD例3如圖，將矩形ABCD沿直線AE折疊，頂點(diǎn)D恰好落在BC邊上F點(diǎn)處，已知CE?6cm，AB?16cm，求

BF的長(zhǎng)．

ADEC落在AD上的點(diǎn)C?處，例4 在梯形紙片ABCD中，AD∥BC，AD?CD，將紙片沿過(guò)點(diǎn)D的直線折疊，使點(diǎn)

折痕DE交BC于點(diǎn)E，連結(jié)C?E．

BCF（1）求證：四邊形CDC?E是菱形；

（2）若BC?CD?AD，試判斷四邊形ABED的形狀， 并加以證明

16．如圖，矩形紙片ABCD中，AB＝3 cm，BC＝4 cm．現(xiàn)將A，C重合，使紙片

折疊壓平，設(shè)折痕為EF，試求AF的長(zhǎng)和重疊部分△AEF的面積．

18．如圖，E是矩形ABCD的邊AD上一點(diǎn)，且BE＝ED，P是對(duì)角線BD上任意一點(diǎn)，PF⊥BE，PG⊥AD，垂足

分別為F、G．求證：PF＋PG＝AB．

分式方程和不等式應(yīng)用題：

1．（2011?德陽(yáng)）某商場(chǎng)分兩批購(gòu)進(jìn)同一種電子產(chǎn)品，第二批單價(jià)比第一批單價(jià)多10元，兩批購(gòu)進(jìn)的數(shù)量和所用資金見(jiàn)下表：

第一批 第二批 購(gòu)進(jìn)數(shù)量（件） 所用資金（元） x 2x 16000 34000 （1）該商場(chǎng)兩次共購(gòu)進(jìn)這種電子產(chǎn)品多少件？

（2）如果這兩批電子產(chǎn)品每件售價(jià)相同，除產(chǎn)品購(gòu)買成本外，每天還需其他銷售成本

60元，第一批產(chǎn)品平均每天銷售10件．售完后，因市場(chǎng)變化，第二批電子產(chǎn)品比第一批平均每天少銷售2件，商場(chǎng)為了使這兩批電子產(chǎn)品全部售完后總利潤(rùn)不低于20%，那么該商場(chǎng)每件電子產(chǎn)品的售價(jià)至少應(yīng)為多少元？

2．（2011?河池）大眾服裝店今年4月用4000元購(gòu)進(jìn)了一款襯衣若干件，上市后很快售完，服裝店于5月初又購(gòu)進(jìn)同樣數(shù)量的該款襯衣，由于第二批襯衣進(jìn)貨時(shí)價(jià)格比第一批襯衣進(jìn)貨時(shí)價(jià)格提高了20元，結(jié)果第二批襯衣進(jìn)貨用了5000元．

（1）第一批襯衣進(jìn)貨時(shí)的價(jià)格是多少？

（2）第一批襯衣售價(jià)為120元/件，為保證第二批襯衣的利潤(rùn)率不低于第一批襯衣的利潤(rùn)率，那么第二批襯衣每件售價(jià)至少是多少元？

3．（2011?防城港）上個(gè)月某超市購(gòu)進(jìn)了兩批相同品種的水果，第一批用了2000元，第二批用了5500元，第二批購(gòu)進(jìn)水果的重量是第一批的2.5倍，且進(jìn)價(jià)比第一批每千克多1元． （1）求兩批水果共購(gòu)進(jìn)了多少千克？

（2）在這兩批水果總重量正常損耗10%，其余全部售完的情況下，如果這兩批水果的售價(jià)相同，且總利潤(rùn)率不低于26%，那么售價(jià)至少定為每千克多少元？

二元一次方程組和不等式的應(yīng)用:

1．茶葉作為一種飲料不僅清香可口，而且具有獨(dú)特的藥用價(jià)值，特別是綠茶中含有較多的 葉酸，對(duì)人的健康很有幫助，某批發(fā)茶商第1次用39萬(wàn)元購(gòu)進(jìn)A、B兩種品牌綠茶，銷售完 后獲得利潤(rùn)6萬(wàn)元，它們的進(jìn)價(jià)和售價(jià)如下表：（總利潤(rùn)=單件利潤(rùn)×銷售量）

價(jià)格商品A12001350B10001200進(jìn)價(jià)（元/件）售價(jià)（元/件）（1）該茶商第1次購(gòu)進(jìn)A、B兩種綠茶各多少件？

（2）該茶商第2次以原價(jià)購(gòu)進(jìn)A、B兩種綠茶，購(gòu)進(jìn)B種綠茶的件數(shù)不變，而購(gòu)進(jìn)A種綠 茶的件數(shù)是第1次的2倍，A種綠茶按原價(jià)銷售，而B種綠茶打折銷售，若兩種綠茶銷售完畢， 要使得第2次經(jīng)營(yíng)活動(dòng)獲得利潤(rùn)不少于75000元，則B種綠茶最低售價(jià)為每件多少元？

2．（2012?包頭）某商場(chǎng)用36000元購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種商品，銷售完后共獲利6000元．其中甲種商品每件進(jìn)價(jià)120元，售價(jià)138元；乙種商品每件進(jìn)價(jià)100元，售價(jià)120元． （1）該商場(chǎng)購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種商品各多少件？

（2）商場(chǎng)第二次以原進(jìn)價(jià)購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種商品，購(gòu)進(jìn)乙種商品的件數(shù)不變，而購(gòu)進(jìn)甲種商品的件數(shù)是第一次的2倍，甲種商品按原售價(jià)出售，而乙種商品打折銷售．若兩種商品銷售完畢，要使第二次經(jīng)營(yíng)活動(dòng)獲利不少于8160元，乙種商品最低售價(jià)為每件多少元？

3． 為了防控甲型H7N9禽流感，某校積極進(jìn)行校園環(huán)境消毒，購(gòu)買了甲、乙兩種消毒液共100瓶，其中甲種6元/瓶，乙種9元/瓶．

（1）如果購(gòu)買這兩種消毒液共用780元，求甲、乙兩種消毒液各購(gòu)買多少瓶？ （2）該校準(zhǔn)備再次購(gòu)買這兩種消毒液（不包括已購(gòu)買的100瓶），使乙種瓶數(shù)是甲種瓶數(shù)的2倍，且所需費(fèi)用不多于1200元（不包括780元），求甲種消毒液最多能再購(gòu)買多少瓶？

二次函數(shù)周長(zhǎng)最小問(wèn)題：如圖，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（-2，0）、B（6，0）、C（0，?23），

2

拋物線y=ax+bx+c（a≠0）經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn)。 （1）求直線AC的解析式； （2）求拋物線的解析式；

（3）若拋物線的頂點(diǎn)為D，在直線AC上是否存一點(diǎn)P，使得

△BDP的周長(zhǎng)最小，若存在，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

幾何24題：

在平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC⊥AB，∠BAC與∠ACB的角平分線交于點(diǎn)E，過(guò)E作EF∥BC分別交AC，DC于G，F(xiàn)，過(guò)E作EH∥AB分別交AC，AD于K，H。 （1）若∠B=60o，CF=2，求EG的長(zhǎng)； （2）求證：GF=GK+KH。