廣東省北江中學(xué)2010屆高三模擬考試

（數(shù)學(xué)理）

一、選擇題

1、設(shè)集合A?{1,2},則滿足A?B?{1,2,3}的集合B的個(gè)數(shù)是

A．1 B．3

C．4

D．8

（ ）

xM?{y|y?3},P?{x|y?3x?3}，則M?P=（ ） 2、若集合

A{x|x?1} B{y|y?1} C{y|y?0} D{x|x?0}

11?22pyqx?y?0,3、已知命題：若則x、全為0；命題：若a?b，則ab．給出下

列四個(gè)命題：①p且q，②p或q，③p的逆否命題，④ ?q，其中真命題的個(gè)數(shù)為（ ）

(A)1

4．集合

(B)2 (C)3 (D)4

，

M??x?2?x?2?N??y0?y?2?，給出下列四個(gè)圖形，其中能表示以M為定

義域，N為值域的函數(shù)關(guān)系的是（ ）.

y 2 -2 0

y 2 y 2 y 2 2 x -2 0 2 -2 0 2 -2 0 x x x A. B. C . D. 5、已知集合A＝{(x，y)|

y?3x?2=1，x，y?R}，B={(x，y)|y=ax+2，x，y?R}，

若A?B＝?，則a的值為（ ）。

31A．a(chǎn)＝1或a＝2 B．ａ＝１或a＝2 C．a(chǎn)＝2或a＝3 D．以上都不對(duì)

k?2xf(x)?(a為常數(shù))x1?k?26、若函數(shù)在定義域上為奇函數(shù)，則k的值為（ ）

A． 1 B. ?1 C. ?1 D. 0 21世紀(jì)教育網(wǎng)

7、若函數(shù)f(x)滿足f(x?2)?f(x)且x?[?1,1]時(shí)f(x)?|x|,則函數(shù)y?f(x)的圖象與

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函數(shù)

y?log3|x|的圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是

B．3

C．4

D．多于4

（ ）

A．2

2f(x)?ax?2ax?4(0?a?3),若x1?x2,x1?x2?1?a,則（ ） 8、已知函數(shù)

A．C．

f(x1)?f(x2) B．f(x1)?f(x2) 21世紀(jì)教育網(wǎng) f(x1)?f(x2) D．f(x1)與f(x2)的大小不能確定

二、填空題(本大題共6小題，每小題5分,共30分)

?ex,x?0.1g(x)??g[g()]?lnx,x?0.?29、設(shè)則__________．

x21f(x)?f()f(x)?,x?R2x1?x10．已知函數(shù)，則= ；

p11、設(shè)p:|4x?3|?1;q:(x?a)(x?a?1)?0，若是q的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)a的

取值范圍是 .

12、若某學(xué)校要從5名男生和2名女生中選出3人作為上海世博會(huì)的志愿者，則選出的志愿者中男女生均不少于1名的概率是 （結(jié)果用最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)表示）。

2y13．如圖1，已知拋物線?2px(p?0)的焦點(diǎn)恰好是橢圓

y O F y2=2px x xy??1a2b2的右焦點(diǎn)F，且兩條曲線的交點(diǎn)連線也過焦點(diǎn)F，

則該橢圓的離心率為 ．21世紀(jì)教育網(wǎng) 14．函數(shù)f(x)對(duì)于任意實(shí)數(shù)x滿足條件

22f(x?2)?1f(x)，若f(1)??5，

則f(f(5))= 21世紀(jì)教育網(wǎng)

三、解答題（共80分，要寫出必要的解題步驟）

1?xf()?x1?x15（本題滿分12分）已知函數(shù). 21世紀(jì)教育網(wǎng) 求：（1）f(2)的值； （2）f(x)的表達(dá)式

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p:f(x)?16（本題滿分14分）已知

1?x,3且|f(a)|?2;

q: 集合A?{x|x2?(a?2)x?1?0,x?R},B?{x|x?0}且A?B??.

若

17（本題滿分14分）如圖，在三棱錐S?ABC中，底面ABC是邊長(zhǎng)為4的正三角形,側(cè)面

p∨q為真命題，p∧q為假命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。21世紀(jì)教育網(wǎng)

SAC?底面ABC，SA?SC?23,M,N分別為AB,SB的中點(diǎn).

（Ⅰ）求證:AC?SB;（Ⅱ）求二面角N?CM?B的大小的余弦值.

S

NC

AMB

18（本題滿分12分）某地建一座橋，兩端的橋墩已建好，這兩墩相距m米，余下工程只需要建兩端橋墩之間的橋面和橋墩，經(jīng)預(yù)測(cè)，一個(gè)橋墩的工程費(fèi)用為256萬元，距離為x米的相鄰兩墩之間的橋面工程費(fèi)用為(2?x)x萬元。假設(shè)橋墩等距離分布，所有橋墩都視為點(diǎn)，且不考慮其他因素，記余下工程的費(fèi)用為 （Ⅰ）試寫出

y萬元。

y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；

y最小？

（Ⅱ）當(dāng)m=0米時(shí)，需新建多少個(gè)橋墩才能使

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x2y22C:2?2?1(a?b?0)的離心率e?,2它的左、右焦ab19（本題滿分14分）已知橢圓

點(diǎn)分別為F1、F2，點(diǎn)P(2,3)，點(diǎn)F2在線段PF1的中垂線上。（1）求橢圓C的方程； （2）設(shè)直線l:y?kx?m與橢圓C交于M、N兩點(diǎn)，直線F2M與F2N的傾斜角分別為?,?，且?????，求證：直線l過定點(diǎn)，并求該定點(diǎn)的坐標(biāo)。

20（本題滿分14分）已知數(shù)列（1）求數(shù)列

{an}滿足：

a1?1,an?1?1nan?n?1(n?N?)22．

{an}的通項(xiàng)公式；21世紀(jì)教育網(wǎng)

1?an?1n?12（2）證明：；

Tn22n12?Tn?2ankn?ln(1?Tn)?Tnn?n?42，證明：Tn?2kn． （3）設(shè)，且

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廣東省北江中學(xué)2010屆高三模擬考試（數(shù)學(xué)理）答案 一、選擇題

1、C．A?{1,2}，A?B?{1,2,3}，則集合B中必含有元素3，即此題可轉(zhuǎn)化為求集合A?{1,2}的子集個(gè)數(shù)問題，所以滿足題目條件的集合B共有2?4個(gè).故選擇答案C． 2、B．M?{y|y?0},P?{x|x?1}，故M?P={y|y?1}，選B 3、C．

2p為真命題，q為假命題，所以p且q為假，p或q為真，p的逆否命題為真，

?q為真，選C

4、B

y?3ll5、B．直線1：x?2=1斜率為1且不過點(diǎn)（2，3），所以直線2：y=ax+2斜率為1或過1點(diǎn)（2，3）時(shí)A?B＝?，故ａ＝１或a＝2，選B

6、C．利用定義：f(?x)??f(x)，

k?2?xk?2x?1?2x?kf(?x)??x??f(x)?恒成立，?xxk?1選C。 1?k?22?k1?k?2此題容易錯(cuò)選為A，錯(cuò)誤原因是直接利用了f(0)?0，萬萬不可。 7、C．?dāng)?shù)形結(jié)合選C

8、B．取特值a?1,x1??2,x2?2,f?2??f??2?，選B；或二次函數(shù)其函數(shù)值的大小關(guān)系，分類研究對(duì)成軸和區(qū)間的關(guān)系的方法， 易知函數(shù)的對(duì)成軸為x??1,開口向上的拋物線, 由

x1?x2, x1+x2=0，需分類研究x1?x2和對(duì)成軸的關(guān)系,用單調(diào)性和離對(duì)成軸的遠(yuǎn)近作判斷,

故選B;

1ln1111g()?ln?0,g[g()]?e2?222 9、2本站部分信息資源來源于網(wǎng)絡(luò)，僅供學(xué)習(xí)究探討收藏之用，版權(quán)歸原作者所有！

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1xx211?x2f(x)?f()??????1x1?x21?11?x21?x21?x2x210、由

21x21?a?11?p:?x?1,q:a?x?a?1，??得03C512、因?yàn)橹挥?名女生，所以選出3人中至少有一名男生，當(dāng)選出的學(xué)生全是男生時(shí)有：，3C5225??37C概率為:：7，所以，均不少于1名的概率為：1－77。

b2(c,)a，13．研究橢圓與拋物線在第一象限得交點(diǎn)，對(duì)于橢圓來說，坐標(biāo)為對(duì)于拋物線來說，b2pc?2c(,p)b2?a2?c2,e?a，聯(lián)立解得e?2?1． 坐標(biāo)為2，所以有a，又

14、解析：

f(x?2)?由

11f(x?4)??f(x),?f(5)?f(1)??5,?f(f(5)) f(x?2)f(x)得

11??f(?1?2)5

f(?5)?f(?1)?=

1?x11?2x??f(2)??3，所以3. 15．解：（1）由1?x，解得

1?x1?t1?t1?x?tx?f(t)?f(x)?1?t，所以1?t，即1?x. （2）設(shè)1?x，解得

|f(a)| ? |16．對(duì)p：所以

1?a|?23．

若命題p為真，則有 ?5?a?7； 對(duì)q：∵B?{x|x?0}且 A?B??

2g(x)?x?(a?2)x?1?0無解或只有非正根． ∴若命題q為真，則方程

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????0??g(0)?0?0?a?2?2???(a?2)?4?02?∴或, ∴a??4.

∵p, q中有且只有一個(gè)為真命題

??5?a?7，即有?5?a??4?a??4∴ (1) p 真，q假：則有?；

?a?7或a??5，即有a?7?a??4(2) p 假，q 真：則有?；

∴?5?a??4或a?7．

17、解: (Ⅰ)取AC的中點(diǎn)O,連結(jié)OS,OB.?SA?SC,AB?BC,

?AC?SO,AC?OB.又平面SAC?平面ABC,且平面SAC?平面ABC?AC,

?SO?平面ABC.故SB在平面ABC內(nèi)的射影為OB, ?AC?SB. (Ⅱ)取OB的中點(diǎn)D,作NE?CM交CM于E,連結(jié)DE，ND. 在△SOB中,N,D分別為SB,OB的中點(diǎn), ?DN∥SO.又SO?平面ABC,

?DN?平面ABC,由NE?CM得DE?CM.

故?NED為二面角N?CM?B的平面角. 設(shè)OB與CM交于G,則G為△ABC的中心,

SNDB?GD?

1GB4.又DE?CM,BM?CM,

?DE?11MB?42.

?DE∥MB,

在△SAC中可得SO?22,

ACOGEM在△SOB中,

ND?1SO?22，

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tanNED? 在Rt△NDE中,

2?2212.

1?二面角N?CM?B的大小的余弦值為3.

解法二: (Ⅰ) 取AC的中點(diǎn)O,連結(jié)OS,OB. ?SA?SC,AB?BC, ?AC?SO,AC?OB. 又平面SAC?平面ABC, 且平面SAC?平面ABC?AC, ?SO?平面ABC.

如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系O?xyz,

則A(2,0,0),B(0,23,0),C(?2,0,0),S(0,0,22),M(1,3,0),N(0,3,2).

zSNCOAxMBy????????AC?(?4,0,0),SB?(0,23,?22).

則AC?SB?0,?AC?SB.

(Ⅱ)由(Ⅰ)得CM?(3,3,0),MN?(?1,0,2).設(shè)n=(x,y,z)為平面CMN的一個(gè)法向量,

???????CM?n?3x?3y?0,??????0,z?1x?2,y??6?MN?n?-x?2z? ?取,得.

2,-6,1).又OS?(0,0,22)為平面ABC的法向量, ????n?OS1?????????3?cos＜n?OS＞=n?OS.

1?二面角N?CM?B的大小的余弦值為3.

(n?1)x?m，即n=m?1x

?n?(18．解 （Ⅰ）設(shè)需要新建n個(gè)橋墩，

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y=f(x)=256n+(n+1)(2+x)x=256(所以

mm-1)+(2?x)xxx

?256x?mx?2m?256.x

f'(x)?? （Ⅱ） 由（Ⅰ）知，

32256mx2313m?mx2?2(x2?512).22x

令f'(x)?0，得x?512，所以x=

當(dāng)00. f(x)在區(qū)間（，0）內(nèi)為增函數(shù)，

所以f(x)在x=處取得最小值，此時(shí)，故需新建9個(gè)橋墩才能使

n?m0?1??1?9.x

y最小

e?19、解：（1）由橢圓C的離心率

22

c2?22c?a?ba2得，其中，

橢圓C的左、右焦點(diǎn)分別為F1(?c,0),F2(c,0) 又點(diǎn)F2在線段PF1的中垂線上

?|F1F2|?|PF2|,?(2c)2?(3)2?(2?c)222c?1,a?2,b?1, 解得

x2?橢圓的方程為?y2?1.2

（2）由題意，知直線MN存在斜率，設(shè)其方程為y?kx?m.

?x2??y2?1,?2?y?kx?m由?

222y,得(2k?1)x?4kmx?2m?2?0. 消去

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設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),

4km2m2?2x1?x2??2,x1x2?,22k?12k?1 則

且

kF2M?kx1?mkx?m,kF2N?2x1?1x2?1 8分

由已知?????，

得

kF2M?kF2N?0,即kx1?mkx2?m??0.x1?1x2?1

化簡(jiǎn)，得2kx1x2?(m?k)(x1?x2?2m?0

2m2?24km(m?k)?2k???2m?02k2?12k2?1

整理得m??2k.

? 直線MN的方程為y?k(x?2)，

因此直線MN過定點(diǎn)，該定點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，0）

1nan?1?an?n?1n?1n2220、解：（1）由，得2an?1?2an?n

n令bn?2an，有bn?1?bn?n ∴bn?b1?(b2?b1)?...?(bn?1?bn?2)?(bn?bn?1)

1b1?n(n?1)2＝b1?[1?2?3?...?(n?1)] ＝

1bn?2?n(n?1)2又b1＝2a1＝2，

（3分） （4分）

112nan?n(n?1)?2an?(n2?n?4)·()n?1(n?N*)22∴ ∴

（2）證法1：（數(shù)學(xué)歸納法）

11°，當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝1，滿足不等式21?ak?11?1?a1?1?1 （5分）

2°，假設(shè)n＝k（k≥1，k∈N*）時(shí)結(jié)論成立 即2k?111k11k2?k1ak?1?ak?k?1?·k?1?k?1?k?1?kak?1?2222222 即2(k?1)?1（7分） ，那么

11k1k2·2k?an?1ak?1?ak?k?1??k?1?k?1?1n?1222222又由1°，2°可知，n∈N*，都有成立（9分） 1n?111a?4·()?an?(n2?n?4)·()n?1n2222n?1 （3）證法2：由⑴知： ∵n?n?0，n?N*，∴

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∵

an?n2?n?42n?1 ∵2n?12n?1nn?112?(1?1)n?1?1?C1n?1?Cn?1?...?Cn?1?Cn?1?Cn?1?1?Cn?1?2Cn?1

3n?2a??1??1nn?12222?n?2n?2n?2n?2n?2n?2∴ ∴ 21世紀(jì)教育網(wǎng)

1n2?n?4當(dāng)n＝1時(shí)，

an?a1?1n?1，綜上2?an?1

（2）證法3：

2an?1(n?1)2?(n?1)?4n2?n?4??2an2(n2?n?4)2n?2n?8

115?(n?)2?an?1?n?n?424?0?1?2?2{a}an2n?2n?82n?2n?8 ∴n為遞減數(shù)列

當(dāng)n＝1時(shí)，an取最大值 ∴an≤1

111?an?1an?n?12nan?n(n?1)?2?2n?122由（1）中知 綜上可知2

（3）

Tn?1n?11n2(n?n?4)·()?n·()22 n2?n?41kn?Tn2?Tn2即證

2n欲證：

T2?nTn?2kn （12分）

即ln（1＋Tn）－Tn＜0，構(gòu)造函數(shù)f （x）＝ln（1＋x）－x ∵

f(x)?1?x?1?1?x1?x當(dāng)x＞0時(shí)，f ' （x）＜0

∴函數(shù)y＝f （x）在（0，＋∞）內(nèi)遞減21世紀(jì)教育網(wǎng)

∴f （x）在[0，＋∞）內(nèi)的最大值為f （0）＝0 ∴當(dāng)x≥0時(shí)，ln（1＋x）－x≤0

又∵Tn＞0，∴l(xiāng)n（1＋Tn）－Tn＜0 ∴不等式

T2?nTn?2kn成立（14分）

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