吉林市普通中學2019—2020學年度高中畢業(yè)班第二次調研測試 理科數學 本試卷共22小題，共150分，共4頁，考試時間120分鐘。 注意事項： 1．答題前，考生務必先將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上，認真核對條 形碼、姓名、準考證號，并將條形碼粘貼在答題卡的指定位置上。 2．選擇題答案使用2B鉛筆填涂,如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案 的標號；非選擇題答案必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、 筆跡清楚。 3．請按照題號在各題的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效。 4. 保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮 紙刀。 一、選擇題：本大題共12題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有

一個是符合題目要求。 1. 集合P?{x?N|?2?x?1?2}的子集的個數是 A. 2 B. 3 C.

4 D. 8 2. 已知i為虛數單位，復數z滿足z?(1?i)?i，則復數z在復平面內對應的點在 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 如果一組數據的中位數比平均數小很多，則下列敘述一定錯誤的是 A. 數據中可能有異常值 B. 這組數據是近似對稱的 C. 數據中可能有極端大的值 4.

“cos2???D. 數據中眾數可能和中位數相同 1?”是“??k??,k?Z”的 23 B. 必要不充分條件 D. 既不充分又不必要條件 A. 充分不必要條件 C. 充要條件 5. 對兩個變量進行回歸分析，給出如下一組樣本數據 ：(0.675,?0.9), (1.102,?0.010),(2.9,1.024),(9.101,2.978),下列函數模型中擬合較好的是 高三理科數學 第1頁 共4頁

A.

y?3x B.

y?3x C.

y??(x?1)2 D. y?log3x ?x?1?6. 已知實數x,y滿足線性約束條件?x?y?0，則z?2x?y的最小值為 ?x?y?2?0? A. 5 2 2 B. 1 2C. ?5 D. ?1 7. 已知圓x?y?6x?7?0與拋物線y?2px(p?0)的準線相切，則p的值為 A. 1 B.

2 C.

1 2 D. 4 D1A1B1GHDFCBC18. 如圖，正方體ABCD?A1B1C1D1中，E,F,G,H分別為 所在棱的中點，則下列各直線中，不與平面ACD1平行的是 E A. 直線EF C. 直線EH B. 直線GH D. 直線A1B A9. 我國宋代數學家秦九韶（1202-1261）在《數書九章》（1247）一書中提出“三斜求積 術”，即：以少廣求之，以小斜冪并大斜冪減中斜冪，余半之，自乘于上；以小斜冪 乘大斜冪減上，余四約之，為實；一為從隅，開平方得積. 其實質是根據三角形的三 2221c?a?b22邊長a,b,c求三角形面積S，即S?[ac?()2]. 若?ABC的面積 42S?11,a?3,b?2，則c等于 2 B. 9 C.

A. 5 5或3 D. 5或9 x2y210. 已知雙曲線C:2?2?1(a?0,b?0)的焦距為2c. 點A為雙曲線C的右頂點， ab 若點A到雙曲線C的漸近線的距離為A.

1c，則雙曲線C的離心率是 2C.

2 B.

3 ?122

D. 3 11. 已知a?ln?,b?log52,c?eA. a?b?c C. b?a?c ，則 B. a?c?b D. c?a?b 高三理科數學 第2頁 共4頁

12. 如圖，在?ABC中，點M,N分別為CA,CB的中點，若AB? 5,CB?1，且滿足 CMGNB?????????????2????2????????3AG?MB?CA?CB，則AGAAC等于 A. 2 C.

B. D.

5 8 3 A2 3二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分。請把答案填在答題卡中相應位置。 13. 在空間直角坐標系O?xyz中，A(2,0,0),B(0,3,0),C(0,0,5),D(2,3,5)，則四面 體ABCD的外接球的體積為__________.

14. 直線mx?ny?2?0(m?0,n?0)過圓C:x?y?2x?2y?1?0的圓心，則 2224?的最小值是__________. mn?115. 若函數f(x)?sin(2?x?)?在區(qū)間[0,?]上恰有4個不同的零點，則正數?的取 62 值范圍是__________.

16. 關于函數f(x)?ln(2?x)?ln(4?x)有下列四個命題： ①函數y?f(x)在(?2,4)上是增函數； ②函數y?f(x)的圖象關于(1,0)中心對稱； ③不存在斜率小于

2且與數y?f(x)的圖象相切的直線； 3④函數y?f(x)的導函數y?f?(x)不存在極小值. 其中正確的命題有__________. （寫出所有正確命題的序號） 三、解答題：本大題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟． 17. （10分）已知數列{an}是公比為正數的等比數列，其前n項和為Sn，滿足a1?2， 且a2,2S2,a3成等差數列. （1）求{an}的通項公式； 高三理科數學 第3頁 共4頁

（2）若數列{bn}滿足bn?log2an，求b1?b2?b3?b4?b5?b6???b99?b100的 CB22222222值.

18. （12分）如圖，三棱柱ABC?A?B?C?的側棱AA?垂直于底面ABC， 且?ACB?90?,?BAC?30?,BC?1,AA??（1）證明：AB??A?M； （2）求二面角A??MB??A的余弦值.

19. （12分）已知?ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c， A6,M是棱CC?的中點. AMCBA? ?2,且滿足bcsin2A?20cos(B?C)?0.

（1）求?ABC的面積S； （2）若a2?4S,求

cb

?的最大值. bc

20. （12分）為滿足人們的閱讀需求，圖書館設立了無人值守的自助閱讀區(qū)，提倡人們在閱讀后將圖書分類放回相應區(qū)域. 現隨機抽取了某閱讀區(qū)500本圖書的分類歸還情況，數據統(tǒng)計如下（單位：本）.

文學類圖書 科普類圖書 其他圖書 文學類專欄 100 30 20

科普類專欄 40 200 10

其他類專欄 10 30 60

（1）根據統(tǒng)計數據估計文學類圖書分類正確的概率p1； （2）根據統(tǒng)計數據估計圖書分類錯誤的概率p2； （3）假設文學類圖書在“文學類專欄”、“科普類專欄”、“其他類專欄”的數目分別為a,b,c，其中a?0,a?b?100,c?50，當a,b,c的方差s2最大時，求a,b的值，并求出此時方差s2的值.

21. （12分）設函數f(x)?lnx?a(x?1).

（1）若函數y?f(x)在(1,??)是單調遞減的函數，求實數a的取值范圍； （2）若n?m?0，證明：2?lnn?2n?lnm. m22. （12分）已知A(?2,0),B(2,0)，動點P滿足直線PA與直線PB的斜率之積為?設點P的軌跡為曲線C.

3，4（1）求曲線C的方程； （2）若過點F(1,0)的直線l與曲線C交于M,N兩點，過點F且與直線l垂直的直線與x?4相交于點T，求

|TF|的最小值及此時直線l的方程.

|MN|高三理科數學 第4頁 共4頁

吉林市普通中學2019—2020學年度高中畢業(yè)班第二次調研測試 理科數學參與評分標準 一、選擇題

1

D

二、填空題 13. 36p; 三、解答題 17. 解：

2 B

3 B

4 B

5 D

6 B

7 B

8 C

9 C

10 A

11 B

12 D

14.

3+22;

15. [,2);

3

4

16. ①②③

（1）!{an}是等比數列，且a2,2S2,a3成等差數列

\\4S2=a2+a3，即 4(a1+a1q)=a1q+a1q2

\\4+4q=q+q2，解得：q=-1或q=4…………………………………………………………………………2分 !q>0，\\q=4 !a1=2

\\an=2×4n-1=22n-1(n?N*)……………………………………………………………………………………………5分 （2）!bn=log2an=2n-1…………………………………………………………………………………………………………7分

18.

（1）證明：!AA'^平面ABC \\四邊形ACC'A'是矩形

\\12-32+52-72+!+1972-1992

=(1-3)(1+3)+(5-7)(5+7)+!+(197-199)(197+199)……………………………………………8分 =(-2)(1+3+5+7+!+199) 1+199=-2××1002=-20000………………………………………………………………………………………………………………………………10分

!M為CC'中點，且AA'=CC'=6 6 2 !BC=1,DBAC=30°,DACB=90°

C'MA'C' \\=\\AC=A'C'=3，

A'C'AA' !DMC'A'=DC'A'A， \\△MC'A'與△C'A'A相似 \\DC'A'M=DA'AC'，\\DA'AC'+DAA'M=90° \\A'M^AC'…………………………………………………………………………………………………………2分 !DACB=90°， \\BC^平面ACC'A'， \\B'C'^平面ACC'A'，

!A'Mì平面ACC'A',\\B'C'^A'M…………………………………………………………4分

\\A'M^平面AB'C'， \\A'M^AB'……………………………………………………………6分 （2）解：如圖，分別以CA,CB,CC'為x,y,z軸建立空間直角坐標系，則

\\C'M=

A'(3,0,6),M(0,0,6),B'(0,1,6),A(3,0,0) 2理科數學參 第1頁 共3頁

!!!!\"\"6!!!!6!!!\"6\\MA'=(3,0,),MB'=(0,1,),MA=(3,0,-)…………………………………8分

22!\"!!!!\"!\"2!!!!\"!!\"設平面MA'B'的法向量為n1=(x1,y1,z1)，則MA￠×n1=0,MB￠×n2=0

!\"26解得：n1=(-,-,1)

22!!\"26同理，平面MAB'的法向量n2=(-,,-1)……………………………………………………10分 22設二面角A'-MB'-A的大小為q，則

13!\"!!\"|--1|!\"!!\"n1×n2222\"=cosq=|cos|=|!\"!!=

3|n1|×|n2|1313++1×++122222即二面角A'-MB'-A的余弦值為.………………………………………………………………………12分

319. 解：

（1）在△ABC中，A+B+C=p，\\B+C=p-A

!bcsin2A+20cos(B+C)=0

\\2bcsinA×cosA-20cosA=0……………………………………………………………………………3分

!A1

21\\S=bcsinA=5…………………………………………………………………………………………………6分

2p，

\\cosA10

（2）!a2=4S \\b2+c2-2bccosA=2bcsinA

20. 解：

（1）由題意可知，文學類圖書共有100+40+10=150本，其中正確分類的有100本

所以文學類圖書分類正確的概率p1=\\b2+c2=2bcsinA+2bccosA……………………………………………………………………………8分 cbb2+c2p\\+==2sinA+2cosA=22sin(A+) bcbc4pcb\\當A=時，+取最大值22.……………………………………………………………………12分

4bc1002=………………………………………………………3分 1503（2）圖書分類錯誤的共有30+20+40+10+10+30=140本，因為圖書共有500本，

30+20+40+10+10+307所以圖書分類錯誤的概率p2==…………………………6分

500251（3）a,b,c的平均數x=(a+b+c)=50…………………………………………………………………………………8分

311 所以方差s2=[(a-50)2+(b-50)2+(50-50)2]=[a2+b2+5000-100(a+b)]

33111 =(a2+b2-5000)=[a2+(100-a)2-5000]=[2a2-200a+5000]…………10分

3335000 .…………………………………………12分 !a>0,b30,\\當a=100,b=0時，s2取最大值

321. 解：

理科數學參 第2頁 共3頁 （1）因為y=f(x)在(1,+￥)上單調遞減，

1a2在(1,+￥)上恒成立……………………………………………………3分 -￡0,即a3x2xx22因為y=在(1,+￥)上是單調遞減的，所以?(0,2)，所以a32……………………………6分

xxn（2）因為n>m>0，所以>1

m由（1）知，當a=2時，y=f(x)在(1,+￥)上單調遞減

n所以f()mnn即ln-2(-1)<0

mmn所以2+lnn<2+lnm.……………………………………………………………………………………………………12分

m所以f'(x)=22. 解：

（1）設P(x,y)，則kPA×kPB=-，即

34yy3×=-

x-(-2)x-24x2y2 整理得+=1(x1±2)……………………………………………………………………………………………………4分

43（2）設l:x=my+1，將其與曲線C的方程聯(lián)立，得3(my+1)2+4y2=12 即(3m2+4)y2+6my-9=0

6m9 設M(x1,y2),N(x2,y2)，則y1+y2=- ,yy=-12223m+43m+4-6m2-9m2+12 ……………………………………………………6分 |MN|=1+m(2)-42=1223m+43m+43m+4 將直線FT:y=-m(x-1)與x=4聯(lián)立，得T(4,-3m)

\\|TF|=9+9m2=31+m2 |TF|13m2+411\\==(3m2+1+)………………………………………………………………8分

22|MN|4m+14m+1設t=m2+1，顯然t31

|TF|11構造f(t)==(3t+)(t31)|

|MN|4t11f'(t)=(3-2)>0在t?[1,+￥)上恒成立

4t所以y=f(t)在[1,+￥)上單調遞增

|FT|11所以=(3t+)31， 當且僅當t=1，即m=0時取“=”…………………………………10分

|MN|4t|TF|即的最小值為1，此時直線l:x=1.………………………………………………………………………12分 |MN|

1（注：1. 如果按函數y=x+的性質求最值可以不扣分；2.若直線方程按斜率是否存在討論，則可以

x根據步驟相應給分.）

理科數學參 第3頁 共3頁