過(guò)程比結(jié)果更重要

作者：趙志剛

來(lái)源：《讀與寫·下旬刊》2014年第07期

中圖分類號(hào)：G633.6文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：B文章編號(hào)：1672-1578（2014）14-0166-01公式的教學(xué)我們應(yīng)該教給學(xué)生些什么？是冰冷的知識(shí)、生硬的的方法、抽象的公式，還是探索的過(guò)程、發(fā)現(xiàn)的思想和智慧？

在等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的教學(xué)中，學(xué)生對(duì)為什么要用錯(cuò)位相消法，如何使用錯(cuò)位相消法感到很茫然，當(dāng)然不能靈活用用，這是教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，下面是我的教學(xué)片斷： 師：同學(xué)們，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了等比數(shù)列的概念和通項(xiàng)公式an=a1qn-1，像等差數(shù)列一樣，我們還需要研究等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式。板書：sn=a1+a2+…+an或sn=a1+a1q+…+a1qn-1 師：我們的目標(biāo)是什么？ 生：應(yīng)該得到一個(gè)公式。

師：對(duì)，應(yīng)該像等差數(shù)列那樣得到一個(gè)求和公式。 師：那么我們?cè)鯓拥玫竭@個(gè)公式呢？有什么辦法呢？

生：類比等差數(shù)列求和公式的方法，或先找?guī)讉€(gè)具體的數(shù)列看看，找找規(guī)律。

師：同學(xué)們說(shuō)的很好，從已有的知識(shí)、方法出發(fā)，把它當(dāng)做我們探索新問(wèn)題的基礎(chǔ)。另外先找些具體的例子，可以從這些具體、簡(jiǎn)單的問(wèn)題解決中觀察、總結(jié)、歸納、推廣、反思，從而將一般性問(wèn)題解決。那好，我們就按同學(xué)的思路出發(fā)！我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了哪些知識(shí)？ 生：等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式。 師：它是用什么方法求得的？ 生：倒序相加法。

師：對(duì)等比數(shù)列能用這種方法嗎？ 生：不行。

師：還有別的什么方法嗎？ 生舉些具體的例子找規(guī)律

龍?jiān)雌诳W(wǎng) http://www.qikan.com.cn

師：那好，看例子：將長(zhǎng)為1的正方形紙片對(duì)折……得到的小矩形面積依次為12，14,18,…12n展開即為圖中1,2,3，…n，個(gè)小矩形，我們能求出它們面積的和嗎？ 生：用總面積減去剩下的那塊矩形的面積， 即

師：我們?cè)囋?,能看出結(jié)果嗎？ 生：很難啊！

師：有什么辦法？生：令n=1,2,3,…試試找出規(guī)律。 生：猜想sn=2n-1

師：現(xiàn)在你能猜想等比數(shù)列的前N項(xiàng)公式了嗎？ 生：還是不能??！

師：不能再簡(jiǎn)單的猜下去了，但我們有不能拋棄前面探索的結(jié)果，前面兩例盡管沒(méi)能得出結(jié)論，但它們有共同的規(guī)律，同學(xué)們說(shuō)說(shuō)是什么規(guī)律。

生：結(jié)果比較簡(jiǎn)單，等差數(shù)列前Ｎ項(xiàng)和公式是用首末兩項(xiàng)來(lái)表示的，我猜想著個(gè)公式也應(yīng)該用首末兩項(xiàng)表示。

師：這位同學(xué)真是好眼力！大家都仔細(xì)觀察一下！我們應(yīng)該怎么辦？ 生（情緒高漲）：應(yīng)該把中間的項(xiàng)盡可能地消掉。

師：對(duì)，這些項(xiàng)有什么規(guī)律？生：只要把前面的項(xiàng)乘以q就是后面的項(xiàng)了。生：后面的項(xiàng)除以公比q就是前面的項(xiàng)。師：那我們動(dòng)手吧。師生共同：

sn=a1+a2+…+an,qsn=a2+a3+…+an+anq兩式相減得(1-q)sn=a1-anq,其中a2+a3+…+an整體消掉了。

師：是不是看到光明啦！

生：是，兩邊除以1-q，就可以了。 師：兩邊一定可以同除以1-q嗎？ 生：1-q=0就不能運(yùn)算！要討論。

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師生：當(dāng)1-q≠0時(shí)，;當(dāng)1-q=0時(shí),{an}為常數(shù)列，sn=na1綜合上得或

師：我們把上面推導(dǎo)等比前n項(xiàng)和公式中將 兩邊同乘以q產(chǎn)生相消的項(xiàng)，通過(guò)整體相減，消去中間一些項(xiàng)的方法稱為錯(cuò)位相消法。再公式推導(dǎo)過(guò)程中要注意公比q的不確定性帶來(lái)的分類討論。因此等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式是一個(gè)分段表達(dá)式，運(yùn)用時(shí)要注意q的條件。師：下面我們驗(yàn)證前面的猜想吧。 ......

如果將等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式直接拋給學(xué)生，再給出證明，學(xué)生可能會(huì)接受，但學(xué)生認(rèn)為數(shù)學(xué)枯燥無(wú)味。數(shù)學(xué)難學(xué)的根源之一，上述設(shè)計(jì)從學(xué)生熟悉的等差數(shù)列出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用歸納推理的方法去探索結(jié)論，由結(jié)論反思公式的求證方法，體會(huì)知識(shí)的發(fā)生，形成，獲得的過(guò)程，通過(guò)對(duì)公式的探索，既讓學(xué)生初步掌握了類比。特殊到一般，一般到特殊。數(shù)形結(jié)合，錯(cuò)位相消等思想方法，又讓學(xué)生體會(huì)到了探究的樂(lè)趣，獲得了滿足感和成功感。這正是本節(jié)課的魅力所在。

我們那么努力為什么，因?yàn)槲覀兿氲玫揭恍〇|西，不管這個(gè)東西是物質(zhì)的還是精神的。在經(jīng)歷了一些事情之后，我逐漸明白一個(gè)道理，那就是結(jié)果不重要，過(guò)程最重要。我們是否有過(guò)這樣的經(jīng)歷，在苦苦追尋一個(gè)結(jié)果之后，我們卻輕易地放棄了最終想要的東西。當(dāng)初做夢(mèng)也想得到的東西，在拼盡全力之后真正得到了，卻有一種悵然若失的感覺(jué)。問(wèn)問(wèn)自己，這段時(shí)間的努力是否就是為了這個(gè)結(jié)果？真正得到了它，反而覺(jué)得它不再那么重要了。人生的目標(biāo)是什么，我不明白，但是大多數(shù)人都有各自的標(biāo)準(zhǔn)，不管我們的目標(biāo)是什么，我們最終會(huì)有兩個(gè)結(jié)果：一是達(dá)到目標(biāo)，二是沒(méi)有達(dá)到目標(biāo)。那么，大多數(shù)人看到的是結(jié)果，結(jié)果真的那么重要么？達(dá)到目標(biāo)和沒(méi)有達(dá)到目標(biāo)在我看來(lái)都是一樣的。成功與失敗只是個(gè)相對(duì)的概念，是給那些貪圖名利的人看的。如果你的思維被世俗名利所，那么你就會(huì)成為結(jié)果的奴隸，一切的努力都是為了一個(gè)結(jié)果，最后不管你達(dá)到結(jié)果還是沒(méi)有達(dá)到，你最終失去的是對(duì)過(guò)程的體驗(yàn)。如果你把結(jié)果看淡，去重視過(guò)程的體驗(yàn)，人生觀將會(huì)發(fā)生改變。這是我在數(shù)學(xué)教學(xué)中的一點(diǎn)體會(huì)，供同仁們參考。