公司和員工的勞動關系的解除方式如下：一、過錯性解除合同根據(jù)《勞動合同法》第三十九條，勞動者有下列情形之一的，用人單位可以解除勞動合同：（一）在試用期間被證明不符合錄用條件的；（二）嚴重違反用人單位的規(guī)章制度的；（三）嚴重失職，營私舞弊，給用人單位造成重大損害的；（四）勞動者同時與其他用人單位建立勞動關系，對完成本單位的工作任務造成嚴重影響，或者經(jīng)用人單位提出，拒不改正的；（五）因本法第二十六條第一款第一項規(guī)定的情形致使勞動合同無效的；（六）被依法追究刑事責任的二、非過錯性解除合同根據(jù)《勞動合同法》第四十條，有下列情形之一的，用人單位提前三十日以書面形式通知勞動者本人或者額外支付勞動者一個月工資后，可以解除勞動合同：（一）勞動者患病或者非因工負傷，在規(guī)定的醫(yī)療期滿后不能從事原工作，也不能從事由用人單位另行安排的工作的；（二）勞動者不能勝任工作，經(jīng)過培訓或者調整工作崗位，仍不能勝任工作的；（三）勞動合同訂立時所依據(jù)的客觀情況發(fā)生重大變化，致使勞動合同無法履行，經(jīng)用人單位與勞動者協(xié)商，未能就變更勞動合同內容達成協(xié)議的。三、經(jīng)濟性裁員根據(jù)《勞動合同法》第四十一條，有下列情形之一，需要裁減人員二十人以上或者裁減不足二十人但占企業(yè)職工總數(shù)百分之十以上的，用人單位提前三十日向工會或者全體職工說明情況，聽取工會或者職工的意見后，裁減人員方案經(jīng)向勞動行政部門報告，可以裁減人員：（一）依照企業(yè)破產法規(guī)定進行重整的；（二）生產經(jīng)營發(fā)生嚴重困難的；（三）企業(yè)轉產、重大技術革新或者經(jīng)營方式調整，經(jīng)變更勞動合同后，仍需裁減人員的；（四）其他因勞動合同訂立時所依據(jù)的客觀經(jīng)濟情況發(fā)生重大變化，致使勞動合同無法履行的。四、協(xié)商一致解除根據(jù)《勞動合同法》第三十六條，用人單位與勞動者協(xié)商一致，可以解除勞動合同。